Materii

SchoolGPT

Cariere

Accesează aplicația

Materii

Bazele Combinatoricii

1

0

Ș

Șerban Nicolae

14.11.2025

Matematică

Combinatorică

130

•

14 nov. 2025

•

5 pagini

Bazele Combinatoricii

Ș

Șerban Nicolae

@erbannicolae

Acest material abordează concepte de matematică combinatorică, esențiale pentru clasa... Afișează mai mult

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
1 / 5
# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{

Permutări și Calcule Factoriale

Permutările reprezintă un concept fundamental în combinatorică. Pentru un set cu m elemente, numărul de permutări este m! (factorial de m). De exemplu, pentru m = 3, avem P₃ = 3! = 1×2×3 = 6 permutări posibile.

Factorialul unui număr natural n se notează cu n! și reprezintă produsul tuturor numerelor naturale de la 1 până la n. Este important să reții că 0! = 1. Iată câteva valori: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.

Când rezolvi probleme cu permutări, vei folosi adesea fracții cu factoriale. Pentru simplificare, caută termeni comuni. De exemplu: 5!+6!6!−5!=5!(1+6)5!(6−1)=75\frac{5! + 6!}{6! - 5!} = \frac{5!(1 + 6)}{5!(6 - 1)} = \frac{7}{5}

Știai că? Factorialul crește extrem de rapid! Valoarea lui 10! este deja peste 3 milioane, iar 20! are 19 cifre. Această creștere explozivă face ca factorialul să fie folosit în probleme de numărare a posibilităților.

# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{

Combinări

Combinările reprezintă un alt concept fundamental în matematica combinatorică. Dacă permutările se ocupă de aranjamente ordonate, combinările se referă la submulțimi neordonate.

Pentru o mulțime A cu n elemente, notăm cu CnkC_n^k numărul de combinări de n luate câte k. Formula de calcul este: Cnk=n!(n−k)!×k!C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}, unde k ≤ n și k, n ∈ ℕ.

Există câteva proprietăți importante de reținut:

  • Cn0=1C_n^0 = 1 (există o singură modalitate de a alege 0 elemente)
  • Cn1=nC_n^1 = n (există n modalități de a alege un singur element)
  • Cnn=1C_n^n = 1 (există o singură modalitate de a alege toate elementele)

Sfat practic: Când calculezi combinări pentru valori mici, poți folosi metoda de simplificare a factorialelor. De exemplu, pentru C53C_5^3, în loc să calculezi separat 5! și 3!, poți scrie direct C53=5×4×33!×2!=606=10C_5^3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3! \times 2!} = \frac{60}{6} = 10.

# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{
# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{
# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{


Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

 

Matematică

•

130

•

14 nov. 2025

•

5 pagini

Bazele Combinatoricii

Ș

Șerban Nicolae

@erbannicolae

Acest material abordează concepte de matematică combinatorică, esențiale pentru clasa a 10-a. Vom explora noțiuni de permutări și combinări, cu formule și exemple practice care te vor ajuta să înțelegi aceste concepte fundamentale.

# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Permutări și Calcule Factoriale

Permutările reprezintă un concept fundamental în combinatorică. Pentru un set cu m elemente, numărul de permutări este m! (factorial de m). De exemplu, pentru m = 3, avem P₃ = 3! = 1×2×3 = 6 permutări posibile.

Factorialul unui număr natural n se notează cu n! și reprezintă produsul tuturor numerelor naturale de la 1 până la n. Este important să reții că 0! = 1. Iată câteva valori: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.

Când rezolvi probleme cu permutări, vei folosi adesea fracții cu factoriale. Pentru simplificare, caută termeni comuni. De exemplu: 5!+6!6!−5!=5!(1+6)5!(6−1)=75\frac{5! + 6!}{6! - 5!} = \frac{5!(1 + 6)}{5!(6 - 1)} = \frac{7}{5}

Știai că? Factorialul crește extrem de rapid! Valoarea lui 10! este deja peste 3 milioane, iar 20! are 19 cifre. Această creștere explozivă face ca factorialul să fie folosit în probleme de numărare a posibilităților.

# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Combinări

Combinările reprezintă un alt concept fundamental în matematica combinatorică. Dacă permutările se ocupă de aranjamente ordonate, combinările se referă la submulțimi neordonate.

Pentru o mulțime A cu n elemente, notăm cu CnkC_n^k numărul de combinări de n luate câte k. Formula de calcul este: Cnk=n!(n−k)!×k!C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}, unde k ≤ n și k, n ∈ ℕ.

Există câteva proprietăți importante de reținut:

  • Cn0=1C_n^0 = 1 (există o singură modalitate de a alege 0 elemente)
  • Cn1=nC_n^1 = n (există n modalități de a alege un singur element)
  • Cnn=1C_n^n = 1 (există o singură modalitate de a alege toate elementele)

Sfat practic: Când calculezi combinări pentru valori mici, poți folosi metoda de simplificare a factorialelor. De exemplu, pentru C53C_5^3, în loc să calculezi separat 5! și 3!, poți scrie direct C53=5×4×33!×2!=606=10C_5^3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3! \times 2!} = \frac{60}{6} = 10.

# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

# Subject : # Date : 1) $m = 3$ $P_m = 3! = 1.2.3 = 6$ 3) $C = \{x \in \mathbb{N} / \frac{5}{a+1} \in \mathbb{N}\}$ a) $0+1 \in D_5 = \{

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

1

Instrumente inteligente NOU

Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Simulare completă ✓ Planuri de eseu

Simulare
Quiz
Flashcard-uri
Eseu

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS