Funcția de Gradul I

Funcția de gradul I are forma generală f$x$ = ax + b, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0. Este una dintre cele mai simple funcții matematice, dar extrem de utilă în practică.

Monotonia funcției depinde de valoarea lui a:

• Când a > 0, funcția este strict crescătoare (graficul urcă de la stânga la dreapta)
• Când a < 0, funcția este strict descrescătoare (graficul coboară de la stânga la dreapta)

Pentru a afla unde funcția devine zero, rezolvă ecuația f$x$ = 0, obținând x = -b/a. Acest punct împarte axa reală în două regiuni cu semne diferite pentru f$x$:

• În stânga punctului -b/a, funcția are semn contrar lui a
• În dreapta punctului -b/a, funcția are același semn ca a

💡 Pont util: Reprezentarea grafică a funcției de gradul I este întotdeauna o dreaptă, iar valoarea lui a determină "înclinarea" acestei drepte.

Funcția de Gradul al II-lea

Funcția de gradul al II-lea are forma f$x$ = ax² + bx + c, unde a, b, c ∈ ℝ și a ≠ 0. Graficul acestei funcții este o parabolă.

Pentru a rezolva ecuația de gradul al II-lea (ax² + bx + c = 0), calculăm discriminantul Δ = b² - 4ac, care ne spune câte soluții are ecuația:

• Când Δ > 0: ecuația are două soluții reale distincte x₁ = $-b - √Δ$/2a și x₂ = $-b + √Δ$/2a
• Când Δ = 0: ecuația are o singură soluție reală dublă x₁ = x₂ = -b/2a
• Când Δ < 0: ecuația nu are soluții reale

Semnul funcției depinde de valoarea lui a și de rădăcinile ecuației. Când a > 0, parabola "zâmbește", iar când a < 0, parabola este "întoarsă".

Relațiile lui Viète ne ajută să lucrăm cu rădăcinile fără a le calcula explicit:

• Suma rădăcinilor: x₁ + x₂ = -b/a
• Produsul rădăcinilor: x₁ · x₂ = c/a

💡 Sfat practic: Pentru a crea o ecuație de gradul al II-lea cu rădăcinile x₁ și x₂, scrie direct: x² - $x₁+x₂$x + x₁·x₂ = 0.

Ecuații Speciale

Ecuațiile iraționale conțin necunoscuta sub radical. Pentru a le rezolva:

1. Stabilește condițiile de existență (CE): pentru radical de ordin 2, expresia de sub radical trebuie să fie ≥ 0
2. Ridică la putere pentru a elimina radicalul
3. Verifică soluțiile găsite în ecuația inițială (ridicarea la putere poate introduce soluții false)

Ecuațiile exponențiale au forma a^(f$x$) = b și se rezolvă prin:

• Dacă a^(f$x$) = a^(g$x$), atunci f$x$ = g$x$
• Dacă a^(f$x$) = b, atunci f$x$ = log_a b
• Folosirea proprietăților puterilor și a notațiilor

Ecuațiile logaritmice conțin logaritmi și respectă proprietăți similare:

• Dacă log_a f$x$ = log_a g$x$, atunci f$x$ = g$x$ (cu condiția ca f$x$ > 0, g$x$ > 0, a > 0, a ≠ 1)
• Dacă log_a f$x$ = N, atunci f$x$ = a^N

💡 Reține: La ecuațiile iraționale, verificarea este esențială! Nu toate soluțiile găsite după ridicarea la putere sunt valide în ecuația originală.

Ecuații Trigonometrice

Ecuațiile trigonometrice fundamentale și soluțiile lor generale sunt:

• sin x = a, unde a ∈ $-1,1$: x = $-1$^k · arcsin a + kπ, k ∈ ℤ
• cos x = a, unde a ∈ $-1,1$: x = ± arccos a + 2kπ, k ∈ ℤ
• tg x = a, unde a ∈ ℝ: x = arctg a + kπ, k ∈ ℤ
• ctg x = a, unde a ∈ ℝ: x = arcctg a + kπ, k ∈ ℤ

Pentru ecuații de forma sin f$x$ = sin g$x$, cos f$x$ = cos g$x$ sau tg f$x$ = tg g$x$, putem scrie:

• sin f$x$ = sin g$x$ ⟹ f$x$ = $-1$^k · g$x$ + kπ, k ∈ ℤ
• cos f$x$ = cos g$x$ ⟹ f$x$ = ±g$x$ + 2kπ, k ∈ ℤ
• tg f$x$ = tg g$x$ ⟹ f$x$ = g$x$ + kπ, k ∈ ℤ (cu cos f$x$ ≠ 0, cos g$x$ ≠ 0)

Unele ecuații trigonometrice se rezolvă folosind formule precum sin²x + cos²x = 1 sau cos 2x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x.

💡 Important: Când folosești substituția t = tg$x/2$ pentru ecuații de forma a·cos x + b·sin x + c = 0, verifică și valorile de forma x = $2k+1$π, deoarece tg nu este definită pentru acestea!

Metode de Numărare și Probabilități

Factorial: n! = 1·2·3···n (cu convenția 0! = 1)

Principalele metode de numărare sunt:

• Permutări: P_n = n! (numărul de moduri de a aranja n elemente)
• Aranjamente: A_n^k = n!/$n-k$! (numărul de moduri de a selecta și aranja k elemente din n)
• Combinări: C_n^k = n!/$k!·(n-k)!$ (numărul de submulțimi cu k elemente dintr-o mulțime cu n elemente)

Binomul lui Newton dezvoltă $a+b$^n ca sumă de termeni: $a+b$^n = C_n^0·a^n + C_n^1·a^$n-1$·b + ... + C_n^n·b^n

Suma tuturor coeficienților binomiali este 2^n, iar suma celor de rang par sau impar este 2^$n-1$.

Formule utile de numărare:

• Numărul submulțimilor unei mulțimi cu n elemente este 2^n
• Numărul funcțiilor f: A → B este (card B)^(card A)
• Numărul funcțiilor bijective f: A → A este (card A)!

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca raport între numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: P = cazuri favorabile / cazuri posibile

💡 Pont practic: La problemele de combinatorică, identifică mai întâi dacă ordinea elementelor contează (permutări/aranjamente) sau nu (combinări).

Metode de Numărare și Probabilități

Factorial: n! = 1·2·3···n (cu convenția 0! = 1)

Principalele metode de numărare sunt:

• Permutări: P_n = n! (numărul de moduri de a aranja n elemente distincte)
• Aranjamente: A_n^k = n!/$n-k$! (numărul de submulțimi ordonate cu k elemente din n)
• Combinări: C_n^k = n!/$k!·(n-k)!$ (numărul de submulțimi neordonate cu k elemente din n)

Binomul lui Newton ne permite să dezvoltăm expresia $a+b$^n: $a+b$^n = C_n^0·a^n + C_n^1·a^$n-1$·b + C_n^2·a^$n-2$·b^2 + ... + C_n^n·b^n

Termenul general al acestei dezvoltări este T_$k+1$ = C_n^k·a^$n-k$·b^k.

Proprietăți importante ale coeficienților binomiali:

• Suma tuturor coeficienților: C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = 2^n
• Suma coeficienților de rang par: C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... = 2^$n-1$
• Suma coeficienților de rang impar: C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ... = 2^$n-1$

Formule practice de numărare:

• O mulțime cu n elemente are exact 2^n submulțimi
• Există (card B)^(card A) funcții f: A → B
• Există (card A)! funcții bijective f: A → A

💡 Sfat util: Când calculezi probabilități, asigură-te că numeri corect cazurile favorabile și cele posibile, folosind metoda de numărare potrivită situației.

Geometrie Analitică

Poziția relativă a două drepte se determină comparând pantele:

• Drepte paralele (d₁ ∥ d₂): au pante egale $m₁ = m₂$
• Drepte perpendiculare (d₁ ⊥ d₂): produsul pantelor este -1 $m₁·m₂ = -1$

Pentru ecuațiile generale a₁x + b₁y + c₁ = 0 și a₂x + b₂y + c₂ = 0:

• Drepte concurente (se intersectează): a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
• Drepte paralele: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
• Drepte suprapuse: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

Aria unui triunghi cu vârfurile A$x_A, y_A$, B$x_B, y_B$, C$x_C, y_C$ se calculează cu formula: A_△ABC = $1/2$|Δ|, unde Δ este determinantul format din coordonatele punctelor și 1.

Coliniaritatea a trei puncte se verifică calculând același determinant Δ:

• A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă Δ = 0

Distanța de la un punct la o dreaptă:

• Distanța de la A$x_A, y_A$ la dreapta ax + by + c = 0 este d(A,d) = |ax_A + by_A + c|/√$a² + b²$
• Un punct aparține dreptei dacă ax_A + by_A + c = 0

Centrul de greutate al unui triunghi cu vârfurile A, B, C are coordonatele: G$x_G, y_G$, unde x_G = $x_A + x_B + x_C$/3 și y_G = $y_A + y_B + y_C$/3

💡 Pont util: Centrul de greutate este punctul de intersecție al celor trei mediane ale triunghiului și împarte fiecare mediană în raportul 2:1.

Vectori

Vectorul este o mărime caracterizată prin direcție, sens și lungime. Pentru vectorul $\vec{AB}$, A este originea, B este extremitatea, iar dreapta AB este suport.

Doi vectori au aceeași direcție când dreptele lor suport sunt paralele sau coincid. Ei au același sens când extremitățile sunt de aceeași parte a dreptei determinată de origini.

Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, lungime și același sens. Sunt opuși dacă au aceeași direcție, lungime și sensuri opuse: $\vec{v} = -\vec{u}$ sau $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

Vectorul nul $\vec{0}$ are lungime zero: $|\vec{AA}| = |\vec{0}| = 0$.

Vectorii sunt coliniari dacă au aceeași direcție: $\vec{u}, \vec{v}$ coliniari ⟺ ∃ α ∈ ℝ astfel încât $\vec{u} = α·\vec{v}$ (cu $\vec{v} ≠ \vec{0}$).

Adunarea vectorilor se face prin:

• Regula triunghiului: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
• Regula paralelogramului: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ (unde ABCD este paralelogram)

Pentru vectorul de poziție al mijlocului unui segment AB: $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

În reperul cartezian:

• $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} = \vec{v}(x, y)$
• $\vec{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}$
• $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ sunt coliniari ⟺ $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

Produsul scalar: $\vec{v_1} · \vec{v_2} = x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec{v_1}|·|\vec{v_2}|·\cos(∠(\vec{v_1}, \vec{v_2}))$

💡 Important: Doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero: $\vec{v_1} ⊥ \vec{v_2} ⟺ \vec{v_1} · \vec{v_2} = 0$.

Elemente de Trigonometrie

Cercul trigonometric este un cerc de rază 1 centrat în origine. Pe acest cerc, valorile funcțiilor trigonometrice sunt:

Pentru unghiurile speciale, avem următoarele valori:

Semnul funcțiilor trigonometrice depinde de cadranul în care se află unghiul:

• Cadranul I $0, π/2$: sin > 0, cos > 0
• Cadranul II $π/2, π$: sin > 0, cos < 0
• Cadranul III $π, 3π/2$: sin < 0, cos < 0
• Cadranul IV $3π/2, 2π$: sin < 0, cos > 0

💡 Pont de reținut: Folosește acronimul "TCSC" pentru a-ți aminti semnele în cadrane - "Toate Calculele Sunt Corecte" (++, +-, --, -+).

Funcții Trigonometrice Inverse

Funcțiile trigonometrice inverse ne permit să găsim unghiurile când știm valorile funcțiilor trigonometrice.

Arcsin este funcția inversă a sinusului:

• arcsin x: $-1, 1$ → $-π/2, π/2$
• arcsin(sin x) = x, ∀x ∈ $-π/2, π/2$
• sin(arcsin x) = x, ∀x ∈ $-1, 1$
• arcsin$-x$ = -arcsin x, ∀x ∈ $-1, 1$

Arccos este funcția inversă a cosinusului:

• arccos x: $-1, 1$ → [0, π]
• arccos(cos x) = x, ∀x ∈ [0, π]
• cos(arccos x) = x, ∀x ∈ $-1, 1$
• arccos$-x$ = π - arccos x, ∀x ∈ $-1, 1$

Arctg este funcția inversă a tangentei:

• arctg x: ℝ → $-π/2, π/2$
• arctg(tg x) = x, ∀x ∈ $-π/2, π/2$
• tg(arctg x) = x, ∀x ∈ ℝ
• arctg$-x$ = -arctg x, ∀x ∈ ℝ

Arcctg este funcția inversă a cotangentei:

• arcctg x: ℝ → (0, π)
• arcctg(ctg x) = x, ∀x ∈ (0, π)
• ctg(arcctg x) = x, ∀x ∈ ℝ
• arcctg$-x$ = π - arcctg x, ∀x ∈ ℝ

💡 Aplicație practică: Funcțiile trigonometrice inverse sunt esențiale în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și în probleme de geometrie care implică unghiuri.