Varianta 1 - Probleme de matematică pentru clasa a 11-a

Subiectul I conține șase probleme simple, care necesită cunoștințe de bază. La problema 1 calculăm $C_3^7 + 3! = 35 + 6 = 41$. Pentru ecuația $\log_3(3x+4)=2$ din problema 2, aplicăm definiția logaritmului: $3^2 = 3x+4$, de unde $x = \frac{5}{3}$.

La problema 3, folosim teorema lui Vieta pentru ecuația $x^2-x-2=0$ cu soluțiile $x_1 = 2$ și $x_2 = -1$. Astfel, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.

La problema 4, funcția $f(x)=-x^2$ pe $[0,1]$ are valorile între $f(0)=0$ și $f(1)=-1$, deci $Im(f) = [-1,0]$.

⚠️ La problemele cu vectori, cum este problema 5, identifică corect coordonatele vectorilor și aplică formula potrivită: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$.

La Subiectul II, problema 1 implică lucrul cu determinanți și utilizarea relațiilor între rădăcinile ecuației $x^3-3x+2=0$. Punctul c) necesită calculul determinantului folosind proprietățile acestuia.

Pentru problema 2, se dovedește formula $x \circ y = (x+4)(y+4)-4$ și apoi se folosește asociativitatea operației pentru a calcula expresia dată.

Subiectul III conține probleme de analiză matematică. Pentru funcția $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$, calculăm derivata, determinăm monotonia și demonstrăm inegalitatea cerută folosind studiul funcției.

Varianta 2 - Probleme de calcul și demonstrații

Începem cu probleme de bază din Subiectul I. La problema 1, trebuie să calculăm produsul $f(-4) \cdot f(-3) \cdot ... \cdot f(3) \cdot f(4)$ pentru $f(x)=x-3$. Identificăm că $f(x)=0$ când $x=3$, deci produsul este 0.

Pentru ecuația $\log_2(x+2)+\log_2x=3$, aplicăm proprietatea logaritmilor: $\log_2((x+2)x)=3$. Deci $(x+2)x=2^3=8$, obținând $x^2+2x=8$ cu soluțiile $x=2$ sau $x=-4$ (dar verificăm că $x=-4$ nu este acceptabilă).

La problema 3, rezolvăm inecuația $x^2-5x+5 \leq 1$ în $\mathbb{Z}$, obținând mulțimea soluțiilor $\{1,2,3,4\}$.

Problema 4 ne cere să demonstrăm că $3^{-1}$, $3^{x+1}$ și $5 \cdot 3^{x+1}$ sunt în progresie aritmetică, ceea ce implică verificarea condiției $3^{x+1} - 3^{-1} = 5 \cdot 3^{x+1} - 3^{x+1}$.

La Subiectul II lucrăm cu determinanți speciali și operații binare. În problema 1c, ecuația cu determinant ne conduce la o ecuație exponențială.

În Subiectul III analizăm funcția $f(x)=e^x-e^{-x}$. Calculăm limita prin definiția derivatei, demonstrăm monotonia și calculăm expresia dată folosind derivata și inversa funcției.

💡 La problemele cu derivate și primitive, adesea poți folosi proprietățile operațiilor pentru a simplifica calculele.

Varianta 3 - Probleme diverse de matematică

La Subiectul I, problema 1 ne cere al 10-lea termen dintr-o progresie aritmetică cu primul termen 1 și rația 6, care este $a_{10} = 1 + 9 \cdot 6 = 55$.

La problema 2 calculăm probabilitatea ca un număr de trei cifre format doar din cifrele 1 și 2 să fie divizibil cu 3. Din cele $2^3=8$ numere posibile, trebuie să identificăm câte sunt divizibile cu 3.

Pentru ecuația $\sqrt{2+x} = x$, ridicăm la pătrat și obținem $2+x = x^2$, deci $x^2-x-2=0$ cu soluțiile $x=2$ sau $x=-1$, dar trebuie să verificăm prin substituție directă.

Problema 5 ne cere să determinăm ecuația dreptei care trece prin punctele A$2,-1$ și B$1,-2$, folosind formula $\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

La Subiectul II, problema 1 implică calculul unui determinant special, unde valorile $x_1, x_2, x_3$ sunt soluțiile ecuației $x^3-2x=0$. Folosim relațiile între soluții pentru a calcula suma, suma pătratelor și determinantul.

Problema 2 necesită lucrul cu polinoame și ecuații exponențiale. La punctul c) rezolvăm ecuația $16^x + 2 \cdot 8^x - 28 \cdot 4^x - 8 \cdot 2^x + 96 = 0$ prin substituția $t=2^x$.

🔍 La Subiectul III, studierea monotoniei funcției $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ implică analiza semnului derivatei. Punctele critice se găsesc când $f'(x)=0$, adică $\ln x = 2$.

Varianta 4 - Probleme de algebră și analiză

Subiectul I include probleme cu inecuații, progresii și ecuații. La problema 1, rezolvăm inecuația $(x-1)^2+x-7<0$ și găsim soluțiile întregi.

La problema 2, calculăm suma primilor 5 termeni ai unei progresii aritmetice cu $a_1=1$ și $a_2=3$. Rația este $r=2$, deci $S_5 = 5 \cdot \frac{2a_1 + (5-1)r}{2} = 5 \cdot \frac{2 + 8}{2} = 5 \cdot 5 = 25$.

Problema 3 ne cere să determinăm valoarea parametrului $m$ din funcția $f(x)=mx^2-8x-3$ astfel încât valoarea maximă să fie 5. Putem folosi formula $f\left(-\frac{b}{2a}\right)$ pentru valoarea maximă a unei parabole.

Pentru ecuația $\log_2(x+2)-\log_2(x-5)=3$, folosim proprietățile logaritmilor: $\log_2 \frac{x+2}{x-5} = 3$, deci $\frac{x+2}{x-5} = 2^3 = 8$, obținând $x+2=8(x-5)$, de unde $x=\frac{42}{7}=6$.

La Subiectul II lucrăm cu matrice și sisteme de ecuații în inelul $Z_6$. Problema 1c ne cere să calculăm suma $X(1)+X(2)+...+X(2009)$, unde putem folosi proprietatea demonstrată la b).

⚠️ La problemele cu matrice, verifică întotdeauna dacă operațiile cerute sunt posibile și folosește proprietățile specifice matricelor.

În Subiectul III analizăm funcția $f(x)=x+e^x$, determinând derivata, monotonia și ecuația asimptotei. La problema 2 calculăm integrale definite și rezolvăm ecuații cu integrale.

Varianta 5 - Probleme cu mulțimi și funcții

Subiectul I începe cu determinarea numărului de elemente din mulțimea $A = \{x \in \mathbb{Z} | x+1 \leq 2\}$, care este mulțimea $\{..., -1, 0, 1\}$, deci infinită.

La problema 2, probabilitatea de a alege un număr rațional din $\{1, 2, ..., 30\}$ este 1, deoarece toate numerele naturale sunt și raționale.

Pentru ecuația $2f(x)+3g(x)=-5$ unde $f(x)=x+3$ și $g(x)=2x-1$, substituim și obținem $2(x+3)+3(2x-1)=-5$, care se simplifică la $2x+6+6x-3=-5$, deci $8x=-8$ și $x=-1$.

Problema 4 implică un calcul procentual: dacă prețul redus este $320$ lei după o reducere de $20\%$, atunci prețul inițial era $\frac{320}{0,8} = 400$ lei.

La Subiectul II lucrăm cu matrice și legi de compoziție. În problema 1 determinăm valorile parametrului $x$ pentru care matricea are determinantul zero sau satisface alte proprietăți.

În problema 2, demonstrăm formula $x \circ y = (x-2)(y-2)+2$ și apoi folosim asociativitatea pentru a calcula expresia $E$.

💡 La problemele cu legi de compoziție, identificarea unei formule alternative precum $(x-2)(y-2)+2$ poate simplifica foarte mult calculele.

Subiectul III include analiza funcției $f(x)=x^{2009}-2009(x-1)-1$. Calculăm $f(0)+f'(0)$, scriem ecuația tangentei și demonstrăm convexitatea funcției pe $[0,+\infty)$.

Varianta 6 - Probleme diverse de matematică

Începem Subiectul I cu calculul expresiei $a^2+b^2$ când suma numerelor $a$ și $b$ este 4 și produsul lor este 3. Folosind formula $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$, obținem $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = 4^2-2 \cdot 3 = 16-6 = 10$.

La problema 2, pentru a găsi punctele de intersecție a graficelor funcțiilor $f(x)=x^2-x+1$ și $g(x)=x+4$, rezolvăm ecuația $x^2-x+1=x+4$, care se simplifică la $x^2-2x-3=0$ cu soluțiile $x=3$ sau $x=-1$.

Problema 3 ne cere să găsim valorile pozitive ale lui $x$ pentru care $\lg\sqrt{x}$, $\frac{3}{2}$ și $\lg x$ formează o progresie aritmetică. Știind că $\lg\sqrt{x} = \frac{1}{2}\lg x$, avem $\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\lg x = \lg x - \frac{3}{2}$, de unde $\lg x = 2$ și $x = 100$.

La Subiectul II, problema 1 analizează punctele $O(0,0)$ și $A_n(n,2^n)$ în plan. Demonstrăm coliniaritatea punctelor $O$, $A_1$, $A_2$ și calculăm numărul de drepte ce trec prin cel puțin două dintre puncte.

În problema 2 lucrăm cu matrice speciale și proprietăți ale grupurilor. Verificăm că $A_x A_y = A_{x+y}$ și identificăm elementul neutru și morfismul între grupuri.

🔍 La problemele cu morfisme între structuri algebrice, verifică întotdeauna conservarea operației: $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$.

Subiectul III conține analiza funcției $f(x) = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+2}$. Calculăm limita la infinit, verificăm formula pentru derivată și demonstrăm inegalitatea $1 \leq f(x) \leq 2$.

Varianta 7 - Probleme de algebră și analiză

La Subiectul I, problema 1 ne cere să calculăm expresia $x_1 + x_2 + x_1 x_2$ unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-2x-2=0$. Folosind relațiile lui Vieta, $x_1 + x_2 = 2$ și $x_1 x_2 = -2$, obținem $x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 2 + (-2) = 0$.

Pentru problema 2, rezolvăm inecuația $f(x)-1 \geq 4x$ unde $f(x)=3-4x$. Substituind, obținem $3-4x-1 \geq 4x$, deci $2 \geq 8x$ și $x \leq \frac{1}{4}$.

Problema 3 implică rezolvarea ecuației $3^x-2 = (1/3)\sqrt{x}$. Facem substituția $t = 3^x$ și obținem o ecuație pătratică în $t$.

La problema 5, pentru ca dreptele $AB$ și $CD$ să fie paralele, pantele lor trebuie să fie egale: $\frac{-1-a}{2-1} = \frac{2-(-2)}{3-1}$, de unde $-1-a = 2$ și $a = -3$.

Subiectul II lucrează cu matrice și verifică proprietăți algebrice. În problema 1c demonstrăm că $C^4 = 64I_2 - 12I$, unde $C = B^2+A^{-1}$.

În problema 2 analizăm polinoame în inelul $Z_5[X]$ și determinăm când $f = X^3+aX^2+X+1$ este divizibil cu $g = X+3$.

⚠️ La problemele cu polinoame în ineluri finite, ține cont că operațiile se fac modulo p (în acest caz, modulo 5).

La Subiectul III studiem funcția $f(x) = e^x + x^2$. Calculăm limita $\lim_{x \to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$, care reprezintă derivata în punctul $x=1$, și demonstrăm convexitatea funcției pe $\mathbb{R}$.

Varianta 8 - Probleme diverse de matematică

Subiectul I începe cu determinarea sumei elementelor mulțimii $A = \{1,3,5,...,13\}$, care este o progresie aritmetică cu primul termen 1, ultimul 13 și rația 2. Suma este $\frac{n(a_1+a_n)}{2} = \frac{7(1+13)}{2} = 49$.

La problema 2, pentru a găsi punctul de pe graficul funcției $f(x)=2x+1$ cu abscisa egală cu ordonata, rezolvăm ecuația $x = 2x+1$, obținând $x = -1$ și punctul $(-1,-1)$.

Problema 3 ne cere să rezolvăm ecuația $2^x + 2^{x+3} = 36$. Folosind proprietățile puterilor, simplificăm la $2^x + 8 \cdot 2^x = 36$, deci $9 \cdot 2^x = 36$ și $2^x = 4$, de unde $x = 2$.

La problema 4, calculăm $A^2 + C^2_n$, o expresie cu coeficienți binomiali.

Subiectul II include probleme cu matrice și polinoame. La problema 1, verificăm proprietățile matricei $A = XY'$ și determinăm când matricea $B(a) = aA+I_3$ este inversabilă.

În problema 2, determinăm valorile $a, b \in Z_5$ pentru care polinoamele date sunt egale și calculăm o sumă de valori ale polinomului.

💡 La problemele cu matrice și determinanți, poți folosi proprietățile speciale ale matricelor pentru a simplifica calculele complexe.

Subiectul III analizează funcția $f(x) = \frac{x \ln x - x + 1}{x-e}$. Calculăm limita în $x = 1$, verificăm formula derivatei și determinăm ecuația asimptotei orizontale la $+\infty$.

Varianta 9 - Probleme de calcul și analiză

La Subiectul I, problema 1 ne cere să verificăm egalitatea $\log_3 9 - \log_2 8 = \log_4$. Folosind proprietățile logaritmilor, avem $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$ și $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$, deci $2-3 = -1 = \log_4 \frac{1}{4}$.

La problema 2, pentru ca ecuația $x^2 + 2mx + 4m = 0$ să aibă soluții reale, discriminantul trebuie să fie nenegativ: $\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4m = 4m^2 - 16m \geq 0$, de unde $m \leq 0$ sau $m \geq 4$.

Problema 4 implică calculul ratei dobânzii. Dacă 1000 lei a generat o dobândă de 80 lei, atunci rata dobânzii este $\frac{80}{1000} \cdot 100\% = 8\%$.

La Subiectul II lucrăm cu matrice și operații binare. În problema 1 determinăm condițiile pentru ca $A + 2I_2 = O_2$ și calculăm determinantul matricei $B = A-A'$.

Pentru problema 2, găsim elementul neutru al legii de compoziție $x \circ y = (x-4)(y-4)+4$, care este 4 (deoarece $4 \circ y = (4-4)(y-4)+4 = 4$ și similar $x \circ 4 = 4$).

🔍 La operațiile binare, verifică dacă există element neutru (care lasă celălalt operand neschimbat) și elemente inversabile.

Subiectul III analizează funcția $f(x) = e^{ax^2+bx+c}$. Calculăm limita cerută, verificăm relația între $f'(0)$ și $f(0)$ și determinăm valorile parametrilor $a$, $b$ și $c$ care satisfac condițiile date.

Varianta 10 - Probleme finale de matematică

Începem Subiectul I cu determinarea termenului al patrulea dintr-o progresie geometrică cu primul termen 27 și rația $\frac{1}{3}$. Avem $a_4 = a_1 \cdot q^3 = 27 \cdot (\frac{1}{3})^3 = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$.

La problema 2, pentru ecuația $f^2(x)+2f(x)-3=0$ unde $f(x)=2x-1$, substituim și obținem $(2x-1)^2+2(2x-1)-3=0$, care se simplifică la $4x^2-4x+1+4x-2-3=0$, deci $4x^2-4+1=0$ și $x = \pm \frac{1}{2}$.

Problema 3 ne cere să rezolvăm ecuația $4^x-3 \cdot 2^x+2=0$. Substituind $t = 2^x$, obținem $t^2-3t+2=0$ cu soluțiile $t=1$ sau $t=2$, de unde $x=0$ sau $x=1$.

La problema 4 comparăm numerele $a = C_{14}^7 + C_{15}^7$ și $b = C_{14}^7 + C_{15}^7 + C_{16}^7 + C_{17}^7$.

Subiectul II conține probleme cu matrice și polinoame. În problema 1 demonstrăm că $A^2+A^3=O_2$ și calculăm suma $A+2A^2+...+10^{10}A^{10}$.

În problema 2 lucrăm cu polinoamele $f = (X-1)^{10}+(X-2)^{10}$ și $g=X^2-3X+2$. Demonstrăm că $g$ nu divide $f$ și determinăm restul împărțirii.

⚠️ La problemele cu polinoame, folosește teorema împărțirii cu rest și teorema lui Bézout pentru a verifica divizibilitatea.

Subiectul III analizează o funcție definită pe cazuri $f(x) = \begin{cases} x^2-x, & x \geq 1 \\ -x^2+x, & x < 1 \end{cases}$. Studiem continuitatea în $x=1$, calculăm derivatele și demonstrăm concavitatea pe $(-\infty,1)$.