Puteri - Definiții și Operații

Puterile reprezintă un mod simplu de a scrie înmulțirea unui număr cu el însuși de mai multe ori. De exemplu, $a^n$ înseamnă că înmulțim numărul a de n ori cu el însuși.

Iată câteva reguli de bază pentru puteri:

• $a^n = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (de n ori), unde a este un număr real și n este un număr natural
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ pentru orice a diferit de zero
• $a^0 = 1$ pentru orice a diferit de zero
• $a^1 = a$ pentru orice număr real

Atenție! Expresia $0^0$ nu are sens și trebuie evitată în calcule.

Când lucrăm cu puteri, folosim anumite reguli care ne ușurează calculele:

• Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• Împărțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m : a^n = a^{m-n}$
• Puterea unei puteri: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
• Puterea unui produs: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
• Puterea unui cât: $(a:b)^n = a^n:b^n$

Un exemplu interesant este $(-1)^n$, care este 1 dacă n este par și -1 dacă n este impar. Acest lucru ne ajută în multe probleme de algebră.

Puterile sunt folosite și în demonstrații. De exemplu, putem demonstra că numărul $a = 2^{n+3} \cdot 7^n + 7^{n+1} \cdot 2^n - 3 \cdot 14^n$ se divide cu 12 pentru orice n natural, scoțând factorul comun $2^n \cdot 7^n$ și observând că restul expresiei dă 12.