Șiruri de numere și progresii

Un șir de numere reale este o funcție S: N → R, unde S(i) = aᵢ pentru orice i natural. Putem nota un șir finit ca (aₘ)ₘ≥₁ = a₁, a₂, a₃, ..., aₘ, unde a₁ este primul termen, iar aₘ reprezintă termenul general. Exemple comune includ șirul numerelor naturale (0, 1, 2, ...) sau șirul numerelor impare (1, 3, 5, ...).

Progresiile aritmetice sunt șiruri speciale în care diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă. În notație matematică: aₘ = aₘ₋₁ + r pentru orice m ≥ 2, unde r este rația progresiei. Termenul general se calculează cu formula: aₘ = a₁ + $m-1$·r. O proprietate importantă a progresiilor aritmetice este că orice termen mijlociu dintre alți doi este media lor aritmetică.

💡 Reține formula sumei: Suma primilor m termeni ai unei progresii aritmetice se calculează rapid cu formula S = $a₁ + aₘ$·m/2 - este ca și cum ai calcula media primului și ultimului termen și ai înmulți cu numărul de termeni.

Progresiile geometrice au raportul dintre termeni consecutivi constant. Notăm bₘ = bₘ₋₁·q, unde q este rația progresiei geometrice. Termenul general se calculează folosind formula bₘ = b₁·q^$m-1$. Un criteriu simplu de verificare: trei termeni consecutivi a, b, c formează o progresie geometrică dacă b² = a·c, adică termenul din mijloc este media geometrică a vecinilor săi.

Suma primilor m termeni ai unei progresii geometrice se calculează cu formula S = b₁·$q^m - 1$/$q - 1$. Această formulă te ajută să eviți adunarea termen cu termen, economisind timp la probleme și exerciții.