Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Română

Toate formulele pt gimnaziu le gasesti aici

https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/0194c6fb-cf1b-783c-ac81-0e1e779c8e60.pdf

0194c6fb-cf1b-783c-ac81-0e1e779c8e60

Notiță

maria-simona muntianu

Romania

Gimnaziu

Liceu

Matematică

Formule mate clasa a 8 a

# Aritmetica şi algebra

## Mulţimi
- $\in$ aparţine  - $\notin$ nu aparţine  - $\subset$ inclusă  - $\supset$ include
- $\emptyset$ mulţimea vidă (mulţime care nu are elemente)
- $A \cup B$ reuniunea
- $A \cap B$ intersecţia
- Cardinalul unei mulţimi=numărul elementelor
- $card(A)=3$
- $A \setminus B$ diferenţa
- $A \times B$ produs cartezian
- $\mathbb{N}$ naturale: {0,1,2,...}
- $\mathbb{N^*}$ naturale fără 0: {1,2,3,...}
- $\mathbb{Z}$ întregi: {...,-2,-1,0,1,2,...}
- $\mathbb{Q}$ raţionale: $\frac{a}{b}$, $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z^*}$
- $\mathbb{R}$ reale
- $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ iraţionale: $\sqrt{2}, \pi, e,...$
- $\mathbb{C}$ complexe
- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

## Operaţii cu mulţimi
- reuniunea: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ sau } x \in B\} = \{1,2,3,4,7,8,9\}$
- intersecţia: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ şi } x \in B\} = \{7,8\}$
- diferenţa: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ şi } x \notin B\} = \{1,2,3,4\}$
- produs cartezian: $A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}$

## Reguli de calcul
- Fracţii zecimale: 1,37 + 4,53 = 5,97; 3 - 1,2 = 1,8; 3,87 * 10 = 38,7; 0,02 : 20 = 0,001; 20 : 0,02 = 1000
- Numere întregi: 36 : 2 = 18; 27 : 3 = 9; 100 : 25 = 4; 364 : 4 = 91
- Numere raţionale: $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$; $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$; $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$; $\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = \frac{4}{3}$
- (-5) + 5 = 0; (-5) - 5 = -10; (-5) * 5 = -25; (-5) : 5 = -1
- Opusul lui 35 este -35; opusul lui -8 este 8

## Puteri
- $2^1 = 2$; $2^2 = 4$; $2^3 = 8$; $2^4 = 16$; $2^5 = 32$; $2^6 = 64$; $2^7 = 128$; $2^8 = 256$; $2^9 = 512$; $2^{10} = 1024$
- $(-2)^1 = -2$; $(-2)^2 = 4$; $(-2)^3 = -8$; $(-2)^4 = 16$; $(-2)^5 = -32$; $(-2)^6 = 64$; $(-2)^7 = -128$; $(-2)^8 = 256$; $(-2)^9 = -512$; $(-2)^{10} = 1024$
- $(2^3)^2 = 2^6 = 64$
- $2^3 \times 2^2 = 2^5 = 32$
- $2^3 : 2^2 = 2^1 = 2$

## Radicali
- $\sqrt{1} = 1$; $\sqrt{4} = 2$; $\sqrt{9} = 3$; $\sqrt{16} = 4$; $\sqrt{25} = 5$; $\sqrt{36} = 6$; $\sqrt{49} = 7$; $\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{81} = 9$; $\sqrt{100} = 10$
- $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
- $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
- $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
- $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
- $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
- $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
- $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
- $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
- $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
- $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
- $\sqrt{54} = 3\sqrt{6}$
- $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
- $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$
- $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$
- $\sqrt{96} = 4\sqrt{6}$
- $\sqrt{98} = 7\sqrt{2}$
- $\sqrt{99} = 3\sqrt{11}$
- $\sqrt{108} = 6\sqrt{3}$
- $\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$
- $\sqrt{128} = 8\sqrt{2}$
- $\sqrt{150} = 5\sqrt{6}$
- $\sqrt{192} = 8\sqrt{3}$
- $\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$
- $\sqrt{242} = 11\sqrt{2}$
- $\sqrt{288} = 12\sqrt{2}$
- $\sqrt{300} = 10\sqrt{3}$
- $\sqrt{320} = 8\sqrt{5}$
- $\sqrt{375} = 5\sqrt{15}$
- $\sqrt{432} = 12\sqrt{3}$
- $\sqrt{512} = 16\sqrt{2}$
- $\sqrt{576} = 24$

## Radicali
- $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$
- $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
- $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne \sqrt{a+b}$
- $\sqrt{a} - \sqrt{b} \ne \sqrt{a-b}$

## Scăderea factorilor sub radical
- $\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$
- $\sqrt{813} = \sqrt{9 \times 90 + 3} = 3\sqrt{90+\frac{3}{9}} = 3\sqrt{90,333...}$

## Calculul algebric
- $2x + y - 2y = 2x - y$
- $2x \times 3y = 6xy$
- $\frac{2x}{3y} = \frac{2x}{3y}$
- $2x + 3x = 5x$
- $2x - 3x = -x$
- $2x \times 3x = 6x^2$
- $\frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$
- $2x + 3x - 5x = 0$
- $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$
- $(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$
- $(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$
- $(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$

## Ratioualizarea numitorului
- $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
- $\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1$
- $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$

## Trecerea termenilor dintr-un membru in altul in egalitati: termenii se pot trece dintr-un membru in altul cu semnul schimbat
- $x + 3 = 5 \Rightarrow x = 5 - 3 = 2$
- $x - 3 = 5 \Rightarrow x = 5 + 3 = 8$
- $3x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{3} = 2$
- $\frac{x}{3} = 2 \Rightarrow x = 6$
- $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$
- $x^2 + y^2 = 25 \Rightarrow x^2 = 25 - y^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{25 - y^2}$
- $xy = 25 \Rightarrow x = \frac{25}{y}$
- $x + y = 5 \Rightarrow x = 5 - y$
- $x - y = 5 \Rightarrow x = 5 + y$
- $xy = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{y}$
- $\frac{x}{y} = 5 \Rightarrow x = 5y$

## Modul (valoare absolută)
- $|x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0\\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}$
- $|6| = 6$; $|-3| = 3$; $|0| = 0$; $|-x| = |x|$
- $|x - 3| = 3 \Rightarrow x - 3 = 3 \text{ sau } x - 3 = -3 \Rightarrow x = 6 \text{ sau } x = 0$
- $|x| = 2 \Rightarrow x = 2 \text{ sau } x = -2$
- $|x - 1| = 2 \Rightarrow x - 1 = 2 \text{ sau } x - 1 = -2 \Rightarrow x = 3 \text{ sau } x = -1$
- $|x - 1| = |x - 2| \Rightarrow x - 1 = x - 2 \text{ sau } x - 1 = -(x - 2) \Rightarrow \text{fals} \text{ sau } x - 1 = -x + 2 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
- $|x - 1| \le 1 \Rightarrow -1 \le x - 1 \le 1 \Rightarrow 0 \le x \le 2$
- $|x - 1| > 1 \Rightarrow x - 1 > 1 \text{ sau } x - 1 < -1 \Rightarrow x > 2 \text{ sau } x < 0$

## Intervale
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 \le x \le 5)$ interval închis
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 < x < 5)$ interval deschis
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 \le x < 5)$ interval închis-deschis
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \le 5)$ interval deschis-închis
- $(x \in \mathbb{R} \mid x < 5)$ minus infinit
- $(x \in \mathbb{R} \mid x > 5)$ plus infinit

## Comparări
- $5 > 4$
- $7 > -7$
- $9 > 2$
- $2 > -1$
- $0 > -1$
- $-1 > -2$
- $-2 > -3$
- $-3 > -4$
- $-4 > -5$
- $-5 > -6$
- $2,4 > 1,39$
- $-4,1 > -4,82$

## Descompunerea expresiilor in factori
- Prin factor comun
- $x^2 + 2x = x(x + 2)$
- $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$
- $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
- $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
- $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$
- $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
- $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$
- $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$
- $2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$
- $2x^2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3)$
- $2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
- $2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$
- $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
- $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
- $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

## Prin grupare de termeni
- $x^3 + x^2 - 9x - 9 = x^2(x + 1) - 9(x + 1) = (x^2 - 9)(x + 1) = (x - 3)(x + 3)(x + 1)$

## Prin formule
- $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
- $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
- $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
- $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
- $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

## Ecuaţia de gradul doi (forma generală: $ax^2 + bx + c = 0$)
## Rezolvare: formula delta: $\Delta = b^2 - 4ac$
- Dacă $\Delta > 0$, soluţiile sunt: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
- Dacă $\Delta = 0$, soluţia este: $x = -\frac{b}{2a}$
- Dacă $\Delta < 0$, soluţiile nu sunt reale

## Unităţi de măsură
## Lungime
- 20 mm = 2 cm
- 30 cm = 0,3 dm
- 7 dm = 0,7 m
- 2,5 dm = 25 cm
- 3,5 dm = 35 cm
- 13,3 mm = 1,33 cm
- 5,7 hm = 570 m
## Arie
- 7 mm$^2$ = 0,07 cm$^2$
- 2 cm$^2$ = 200 mm$^2$
- 0,05 m$^2$ = 500 cm$^2$
- 1 ha = 100 a = 10000 m$^2$
- 1 a = 100 m$^2$
- 0,02 ha = 200 m$^2$
- 0,04 m$^2$ = 400 cm$^2$
## Volum
- 5 cm$^3$ = 5000 mm$^3$
- 0,05 m$^3$ = 50 dm$^3$
- 1 m$^3$ = 1000 dm$^3$
- 1 dm$^3$ = 1000 cm$^3$
- 3 m$^3$ = 3000 dm$^3$
- 0,25 dam$^3$ = 250 m$^3$
## Capacitate
- 1 l = 1 dm$^3$
- 3 l = 3000 ml
- 1 dal = 10 l
- 125 ml = 0,125 l
- 0,07 kl = 70 l
- 3 cl = 0,3 dl
## Masă
- 4 kg = 4000 g
- 70 cg = 0,7 g
- 45 dag = 450 g
- 200 g = 0,2 kg
- 6,2 hg = 620 g
- 2,3 kg = 2300 g
- 3000 g = 3 kg
- 34 g = 0,034 kg
## Timp
- 1 oră = 60 minute
- 1 minut = 60 secunde
- 1 deceniu = 10 ani
- 1 secol = 100 ani
- 1 mileniu = 1000 ani
- 1 oră = 3600 secunde
- 1 % = 0,01
- 1/2 oră = 30 minute
- 1/4 oră = 15 minute

## Sisteme de ecuaţii
## Rezolvare prin metoda substituţiei
- $2x + y = 11$
- $x - 4y = -11$
## Rezolvare prin metoda reducerii (se adună ecuaţiile)
- $3x + 4y = 22$
- $3x - 2y = 8$

## Sistem de axe
- Oxa absciselor
- Oy axa ordonatelor
- Punctul O(0,3)
- Numărul 5 este abscisa, iar punctul 3 este ordonata lui M

## Funcţii
- Spunem că am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori în mulţimea B dacă facem o corespondenţă din A în B astfel încât fiecărui element din A îi corespunde un singur element în B
- A = domeniul de definiţie; B = codomeniul de valori
- F: A -> B (funcţia "F" defineşte o corespondenţă de valori)

## Reprezentare grafică
- Funcţia liniară: y = ax + b
- Funcţia pătratică: y = ax$^2$ + bx + c
- Intersecţia graficului cu axele
- Calculul coordonatelor punctelor

## Probabilităţi şi evenimente
- Medii
- Aritmetică: $m = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$
- Geometrică: $m = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times ... \times x_n}$
- Armonică: $m = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$
- Inegalitatea mediilor: $m_h \le m_g \le m_a$
- Media aritmetică ponderată a numerelor 3, 6, 9, 12
- având ponderile 3, 6, 3 este: $\frac{3 \times 3 + 6 \times 6 + 3 \times 9}{3 + 6 + 3} = \frac{72}{12} = 6$

## Divizibilitate
- 2 | 18 (2 divide pe 18)
- 18:2 = 9 (18 este divizibil cu 2)
- Divizorii lui 18 sunt: 1,2,3,6,9,18
- Multiplii lui 18 sunt: 0,18,36,54,...
- Numere prime: numere care au numai doi divizori: 2,3,5,7,11,...
- Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.): 18 = 2 * 3$^2$
- Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.): 18 = 2 * 3$^2$
- Dacă a şi b sunt prime între ele, atunci c.m.m.d.c.(a,b) = 1
- Relaţia dintre c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c.: $a \times b = c.m.m.d.c.(a,b) \times c.m.m.m.c.(a,b)$
- Criterii de divizibilitate:
- 2 - dacă ultima cifră este 0,2,4,6 sau 8 (ex: 756, 1934)
- 3 - dacă suma cifrelor se divide cu 3 (ex: 291, 1935)
- 4 - dacă numărul format din ultimele 2 cifre se divide cu 4 (ex: 912)
- 5 - dacă ultima cifră este 0 sau 5 (ex: 230, 495)
- 6 - dacă se divide cu 2 şi cu 3 (ex: 132, 258)
- 8 - dacă numărul format din ultimele 3 cifre se divide cu 8 (ex: 9001)
- 9 - dacă suma cifrelor se divide cu 9 (ex: 135, 495)
- 10 - dacă se termină în 0 (ex: 230, 1990)
- 25 - dacă se termină în 25 (ex: 725, 1900)
- 100 - dacă se termină în 00 (ex: 2300, 1900)
- Dacă a şi b sunt prime între ele, dacă a divide pe bc atunci a divide pe c

## Fracţii
- $\frac{a}{b}$: a - numărător; b - numitor
- $\frac{2013}{2014}$
- $\frac{5}{18}$
- $\frac{7}{14}$
- $\frac{15}{30}$
- $\frac{141}{141}$
- $\frac{5}{15}$
- $\frac{12}{18}$
- $\frac{2}{3}$
- supraunitară: numărător > numitor
- echunitară: numărător = numitor
- ireductibilă: care nu se pot simplifica
- reductibilă: care se pot simplifica
- echivalente: care se reduc succesiv. Ex: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = ...$

## Procent
- raportul $\frac{a}{b} \times 100 = a%$
- $\frac{75}{300} \times 100 = 25%$
- $\frac{2}{5} = 0,4 = 40%$
- Proprietăţi: o serie de termeni proporţionali
- 2,3,4,6 - numere direct proporţionale
- 2,3,4,6 - numere invers proporţionale
- Proprietăţile fundamentală a unei proporţii: $a \times d = b \times c$
- $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{x}{42} \Rightarrow x = 28$

## Numerele x, y, z sunt direct proporţionale cu 2,3,7
- $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{7}$
- $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = ...$

## Reguli de trei simple
- a) Dacă 3 mere costă 12 lei, cât costă 5 mere?
- b) Dacă 5 litri de benzină costă 20 lei, câţi litri se pot cumpăra cu 50 lei?
- c) În 3 ore pot umple un bazin cu 20 litri. Având 50 litri, în cât timp pot umple bazinul?


Formule mate clasa a 8 a

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț

Formule mate clasa a 8 a

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț