Materii

SchoolGPT

Cariere

Accesează aplicația

Materii

Materii

Matematică

354

•

21 dec. 2025

•

2 pagini

Formule Derivate și Integrale Explicate

M

Monica Monica

@monicamon_xx0yi

Formulele matematice de derivare și integrare reprezintă unele dintre cele... Afișează mai mult

# $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \sqrt{x^2-a^2} + C$ # $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = -\sqrt{a^2-x^2} + C$ # $\int \frac{1}{\sqrt{

Formule de Derivare și Integrare

Când lucrezi cu integrale ce conțin rapoarte cu radicali, există câteva formule standard care te salvează de calcule complicate. De exemplu, ∫xx2−a2dx=x2−a2+C\int \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \sqrt{x^2-a^2} + C și ∫xa2−x2dx=−a2−x2+C\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = -\sqrt{a^2-x^2} + C. Aceste formule sunt extrem de utile în probleme de fizică și geometrie.

Derivatele funcțiilor elementare urmează reguli precise și ușor de memorat. Pentru funcții de tip putere, avem (xn)′=nxn−1(x^{n})' = nx^{n-1}, în timp ce pentru funcții compuse precum radical, logaritm sau exponențială, formulele sunt: (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}, (ln(u))′=u′u(ln(u))' = \frac{u'}{u} și (eu)′=euu′(e^{u})' = e^{u}u'.

Regulile de derivare pentru operațiile cu funcții sunt fundamentale: suma, diferența, produsul și câtul funcțiilor au formule specifice precum (f+g)′=f′+g′(f+g)' = f' + g' sau (f⋅g)′=f′g+fg′(f\cdot g)' = f'g + fg'. Similar, pentru integrale, avem reguli de linearitate: ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx și ∫mnf(x)dx=mn∫f(x)dx\int mn f(x) dx = mn \int f(x) dx.

Pro Tip: Formula integrării prin părți ∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx este extrem de puternică pentru integrale complexe. Memorează această formulă și vei putea rezolva probleme care altfel par imposibile!

# $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \sqrt{x^2-a^2} + C$ # $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = -\sqrt{a^2-x^2} + C$ # $\int \frac{1}{\sqrt{


Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Cele mai populare conținuturi la Matematică

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

MatematicăMatematică
12

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

MatematicăMatematică
12

Portofoliu geometrie clasele 5-8

Pdf cu tot ce trebuie sa știi la geometrie clasa 8

MatematicăMatematică
8

notite examen clasa a 8 a matematică

toata materia necesara pentru examenul din clasa a 8 a la algebra

MatematicăMatematică
8

Geometrie

conține formule importante care se dau la EN

MatematicăMatematică
8

teorie evaluare nationala

formule

MatematicăMatematică
8

Geometrie Clasa a 8 a portofoliu

Portofoliu clasa a 8 a Geometrie

MatematicăMatematică
8

Teorie Bac Mate

Teorie BAC Mate

MatematicăMatematică
10

Formule bac 2025 mate

Formule bac mate

MatematicăMatematică
12

Cele mai populare conținuturi

Eseuri Bacalaureat Română

Eseuri bac română

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

eseul complet moara cu noroc

Limba și literatura românăLimba și literatura română
11

Eseu-,,Povestea lui Harap Alb”

eseul

Limba și literatura românăLimba și literatura română
9

Materie geografie

Bac geografie

GeografieGeografie
12

Evaluare Nationala lb Romana

Tot ce trebuie sa stii pt examen

Limba și literatura românăLimba și literatura română
7

Eseu Povestea lui Harap Alb

Tema și viziunea despre lume

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Materie BAC Anatomie + Genetica

Notite pentru examenul de bacaluareat la disciplina biologie: anatomie si genetica

BiologieBiologie
12

Eseu Eu nu strivesc corola de minuni a lumii-Lucian Blaga

Ușor de învățat

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Autonomii locale

Notițe

IstorieIstorie
12

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Materii

Matematică

 

Matematică

•

354

•

21 dec. 2025

•

2 pagini

Formule Derivate și Integrale Explicate

M

Monica Monica

@monicamon_xx0yi

Formulele matematice de derivare și integrare reprezintă unele dintre cele mai importante instrumente în analiza matematică. Ele ne ajută să calculăm ratele de schimbare și să determinăm ariile sub curbe. Aceste formule sunt esențiale pentru rezolvarea problemelor din fizică, economie... Afișează mai mult

# $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \sqrt{x^2-a^2} + C$ # $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = -\sqrt{a^2-x^2} + C$ # $\int \frac{1}{\sqrt{

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Formule de Derivare și Integrare

Când lucrezi cu integrale ce conțin rapoarte cu radicali, există câteva formule standard care te salvează de calcule complicate. De exemplu, ∫xx2−a2dx=x2−a2+C\int \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \sqrt{x^2-a^2} + C și ∫xa2−x2dx=−a2−x2+C\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = -\sqrt{a^2-x^2} + C. Aceste formule sunt extrem de utile în probleme de fizică și geometrie.

Derivatele funcțiilor elementare urmează reguli precise și ușor de memorat. Pentru funcții de tip putere, avem (xn)′=nxn−1(x^{n})' = nx^{n-1}, în timp ce pentru funcții compuse precum radical, logaritm sau exponențială, formulele sunt: (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}, (ln(u))′=u′u(ln(u))' = \frac{u'}{u} și (eu)′=euu′(e^{u})' = e^{u}u'.

Regulile de derivare pentru operațiile cu funcții sunt fundamentale: suma, diferența, produsul și câtul funcțiilor au formule specifice precum (f+g)′=f′+g′(f+g)' = f' + g' sau (f⋅g)′=f′g+fg′(f\cdot g)' = f'g + fg'. Similar, pentru integrale, avem reguli de linearitate: ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx și ∫mnf(x)dx=mn∫f(x)dx\int mn f(x) dx = mn \int f(x) dx.

Pro Tip: Formula integrării prin părți ∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx este extrem de puternică pentru integrale complexe. Memorează această formulă și vei putea rezolva probleme care altfel par imposibile!

# $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \sqrt{x^2-a^2} + C$ # $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = -\sqrt{a^2-x^2} + C$ # $\int \frac{1}{\sqrt{

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

10

Instrumente inteligente NOU

Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Simulare completă ✓ Planuri de eseu

Simulare
Quiz
Flashcard-uri
Eseu

Cele mai populare conținuturi la Matematică

formule matematică pentru bac

formule de bază pentru matematică m2

MatematicăMatematică
12

Formule pentru subiectul 1 Bac Mate M2

formule pt bac M2 pentru subiectul 1

MatematicăMatematică
12

Portofoliu geometrie clasele 5-8

Pdf cu tot ce trebuie sa știi la geometrie clasa 8

MatematicăMatematică
8

notite examen clasa a 8 a matematică

toata materia necesara pentru examenul din clasa a 8 a la algebra

MatematicăMatematică
8

Geometrie

conține formule importante care se dau la EN

MatematicăMatematică
8

teorie evaluare nationala

formule

MatematicăMatematică
8

Geometrie Clasa a 8 a portofoliu

Portofoliu clasa a 8 a Geometrie

MatematicăMatematică
8

Teorie Bac Mate

Teorie BAC Mate

MatematicăMatematică
10

Formule bac 2025 mate

Formule bac mate

MatematicăMatematică
12

Cele mai populare conținuturi

Eseuri Bacalaureat Română

Eseuri bac română

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Eseu-Moara cu noroc ,Ioan Slavici

eseul complet moara cu noroc

Limba și literatura românăLimba și literatura română
11

Eseu-,,Povestea lui Harap Alb”

eseul

Limba și literatura românăLimba și literatura română
9

Materie geografie

Bac geografie

GeografieGeografie
12

Evaluare Nationala lb Romana

Tot ce trebuie sa stii pt examen

Limba și literatura românăLimba și literatura română
7

Eseu Povestea lui Harap Alb

Tema și viziunea despre lume

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Materie BAC Anatomie + Genetica

Notite pentru examenul de bacaluareat la disciplina biologie: anatomie si genetica

BiologieBiologie
12

Eseu Eu nu strivesc corola de minuni a lumii-Lucian Blaga

Ușor de învățat

Limba și literatura românăLimba și literatura română
12

Autonomii locale

Notițe

IstorieIstorie
12

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS