Testul 1 - Exerciții cu mulțimi

Să începem cu un exemplu simplu: mulțimea literelor din cuvântul "biblioteca". Trebuie să eliminăm literele care se repetă, așa că obținem {b, i, l, o, t, e, c, a}.

Când lucrăm cu submulțimi, trebuie să găsim toate combinațiile posibile. Pentru mulțimea {a, b, c}, submulțimile sunt: mulțimea vidă ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} și {a, b, c}.

Pentru a determina mulțimea M={x| x∈ℕ și 2≤2x-1<13}, rezolvăm inegalitatea și aflăm că x poate fi 2, 3, 4, 5 sau 6.

Sfat util: La exercițiile cu divizori, scrie mai întâi descompunerea în factori primi a numerelor - așa vei găsi mai ușor divizorii comuni!

Operațiile cu mulțimi sunt ca niște jocuri: reuniunea (∪) adună toate elementele, intersecția (∩) păstrează doar elementele comune, iar diferența () elimină elementele din a doua mulțime.

Calculele cu mulțimi

Hai să calculăm mulțimea literelor din "biblioteca": A={b,i,l,o,t,e,c,a}, eliminând literele care apar de mai multe ori.

Pentru a găsi submulțimile lui {a,b,c}, scriem toate combinațiile posibile: ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} și {a,b,c}. Sunt 8 submulțimi în total.

La mulțimea M={x| x∈ℕ și 2≤2x-1<13}, testăm numerele naturale:

• Pentru x=0: 2·0-1=-1<2 (nu este soluție)
• Pentru x=1: 2·1-1=1<2 (nu este soluție)
• Pentru x=2: 2·2-1=3>2 (este soluție)
• Verificăm până la x=7 (2·7-1=13≥13, nu este soluție)

Deci M={2,3,4,5,6}

Atenție! Când lucrezi cu mulțimea divizorilor, scrie întâi descompunerea în factori primi. Vei găsi mai ușor răspunsul!

Pentru D₁₂={1,2,3,4,6,12} și D₁₈={1,2,3,6,9,18}, calculăm:

• Reuniunea D₁₂∪D₁₈={1,2,3,4,6,9,12,18}
• Intersecția D₁₂∩D₁₈={1,2,3,6}

Diverse tipuri de mulțimi

Mulțimea A={x∈ℕ|5≤x≤9} conține toate numerele naturale de la 5 la 9, deci A={5,6,7,8,9}.

Pentru mulțimile cu definiții speciale, trebuie să analizăm fiecare element:

• A={x∈ℕ|x=2ᵐ, m∈{0,1,2,3}}
• Pentru m=0: x=2⁰=1
• Pentru m=1: x=2¹=2
• Pentru m=2: x=2²=4
• Pentru m=3: x=2³=8
• Deci A={1,2,4,8}

La fel pentru B={y∈ℕ|y=k², k∈ℕ}:

• Pentru k=0: y=0²=0
• Pentru k=1: y=1²=1
• Pentru k=2: y=2²=4
• Pentru k=3: y=3²=9
• Deci B={0,1,4,9,...}

Bine de știut: Mulțimile pot fi finite sau infinite. Alfabetul latin și numerele de la 1 la 100 sunt mulțimi finite, în timp ce numerele naturale divizibile cu 7 sau punctele unei drepte formează mulțimi infinite.

Nu uita că intersecția A∩B păstrează doar elementele care apar în ambele mulțimi, deci A∩B={1,4}.