Subiectul I - Exerciții cu alegere multiplă

Primele exerciții sunt relativ simple, dar trebuie să fii atent la ordinea operațiilor:

În calculul 8 + 14 ÷ 2, trebuie să respectăm ordinea: întâi împărțirea, apoi adunarea. Rezultatul este 8 + 7 = 15.

La problema cu reducerea, dacă un album costă 200 de lei și primește o reducere de 20%, calculăm:

• Reducerea: 20% din 200 lei = 40 lei
• Prețul final: 200 - 40 = 160 lei

Pentru intersecția intervalelor I = (-∞, 6] și J = (4, +∞), trebuie să luăm numerele comune ambelor intervale, adică (4, 6].

Sfat util: La exercițiile cu intervale, desenează-le pe o axă numerică pentru a vizualiza mai ușor intersecția!

Subiectul I - Exerciții cu numere zecimale și valoare absolută

La exercițiul cu numere zecimale, trebuie să compari:

• 5,(024) = 5,024024...
• 5,(24) = 5,242424...
• 5,2(4) = 5,244444... (cel mai mare dintre toate)
• 5,24 = 5,2400...

Pentru ecuația |a+3|+|b-4|=0, trebuie să-ți amintești că valoarea absolută a unui număr este mereu ≥ 0. Suma a două valori absolute poate fi 0 doar când ambele sunt 0. Deci:

• a + 3 = 0 → a = -3
• b - 4 = 0 → b = 4
• a + b = -3 + 4 = 1

Deci Ioana a calculat corect.

Reține: Valoarea absolută a unei expresii este 0 doar când expresia din interior este 0!

Verificarea soluțiilor și probleme geometrice

Pentru a verifica dacă un număr este soluție a unei ecuații, trebuie să înlocuiești numărul în ecuație și să vezi dacă obții o egalitate adevărată.

La ecuația 2x + 3 = 4x + 1, dacă înlocuim x = 1:

• 2 × 1 + 3 = 4 × 1 + 1
• 5 = 5 (adevărat)

La problema cu puncte coliniare, avem informațiile:

• BC = 4 cm
• AD = 4 × BC = 16 cm
• AB = CD = x

Folosind faptul că AD = AB + BC + CD, obținem:

• 16 = x + 4 + x
• 16 = 2x + 4
• 12 = 2x
• x = 6 cm

Atenție: La problemele geometrice, e util să desenezi figura și să notezi toate valorile cunoscute!

Probleme cu unghiuri în triunghiuri

În triunghiul isoscel ABC cu AB = AC și măsura unghiului C = 40°, trebuie să găsești măsura unghiului CAD.

Iată pașii de rezolvare:

1. În triunghiul isoscel ABC, unghiurile de la bază sunt egale, deci ∠ACB = ∠ABC = 40°
2. Suma unghiurilor în triunghi este 180°, deci ∠BAC = 180° - 40° - 40° = 100°
3. Punctele B, A, D sunt coliniare, deci ∠BAD este unghi întins (180°)
4. ∠BAC + ∠CAD = ∠BAD, deci 100° + ∠CAD = 180°
5. ∠CAD = 80°

Pont: La problemele cu unghiuri, încearcă să folosești proprietățile triunghiurilor și faptul că suma unghiurilor într-un triunghi este 180°!

Problemă cu triunghiuri și drepte paralele

În triunghiul ABC avem ∠A = 43° și ∠C = 51°. Punctele M, N și P sunt pe laturile triunghiului, iar MN || BC și MP || AB. Trebuie să găsim măsura unghiului NMP.

Rezolvarea este:

1. Calculăm ∠B folosind suma unghiurilor în triunghi:

   • ∠A + ∠B + ∠C = 180°
   • 43° + ∠B + 51° = 180°
   • ∠B = 86°

2. Observăm că MN || BC și MP || AB, deci MNBP este un paralelogram

3. În paralelogram, unghiurile opuse sunt egale, deci ∠NMP = ∠B = 86°

Important: Când ai drepte paralele, poți forma paralelograme care te ajută să găsești unghiurile necunoscute!

Probleme cu arii și paralelogram

În paralelogramul ABCD, punctul M este mijlocul segmentului AB și aria triunghiului ACM este 10 cm². Trebuie să găsim aria paralelogramului ABCD.

Rezolvare:

1. Dacă M este mijlocul lui AB, atunci aria triunghiului ABC este dublul ariei triunghiului ACM:
   • A(ABC) = 2 × A(ACM) = 2 × 10 = 20 cm²
2. Aria paralelogramului ABCD este dublul ariei triunghiului ABC:
   • A(ABCD) = 2 × A(ABC) = 2 × 20 = 40 cm²

Alt exercițiu se referă la un cerc cu raza de 6 cm, unde AC este diametru și ∠BAC = 30°. Trebuie să găsim lungimea coardei BC.

Ține minte: Aria unui paralelogram este dublul ariei triunghiului format de o diagonală cu două laturi!

Probleme de geometrie cu unghi și cub

La exercițiul cu cercul, măsura coardei BC este 6 cm.

Iată cum se rezolvă:

1. AC este diametru, deci ∠ABC = 90° (triunghiul ABC este dreptunghic)
2. ∠BAC = 30°, deci aplicăm teorema "30° tăietură din ipotenuză": BC = AC/2 = 12/2 = 6 cm

La exercițiul cu cubul ABCDA'B'C'D', unde trebuie să găsim măsura unghiului ∠CAD':

1. AC și AD' sunt diagonale în fețe opuse
2. ∆CAD' este un triunghi echilateral (toate laturile sunt egale)
3. În triunghiul echilateral, toate unghiurile sunt de 60°, deci ∠CAD' = 60°

Sfat geometric: În cub, diagonalele fețelor opuse formează adesea triunghiuri echilaterale sau isoscele!

Subiectul III - Probleme cu elevi și bănci

Avem o problemă despre elevi și bănci:

• Dacă elevii stau câte 2 în bancă, rămân 3 elevi în picioare
• Dacă stau câte 4 în bancă, rămân 5 bănci libere și o bancă cu un singur elev

Verificăm dacă pot fi 30 de elevi:

• Dacă ar fi 30 de elevi, ar trebui să avem 30 - 3 = 27 elevi care stau în bănci
• Dar 27 este impar, nu se poate împărți exact la 2
• Deci nu pot fi 30 de elevi

Pentru a afla numărul corect:

• Notăm e = număr de elevi, b = număr de bănci
• Din prima condiție: e = 2b + 3
• Din a doua condiție: e = 4$b-6$ + 1

Egalăm cele două expresii și obținem: 2b + 3 = 4b - 24 + 1 2b + 3 = 4b - 23 26 = 2b b = 13 bănci

Deci sunt 13 bănci și 2×13 + 3 = 29 elevi.

Verifică mereu rezultatul înlocuind valorile găsite în condițiile inițiale!

Exerciții cu expresii algebrice

Pentru expresia E(x) = $1/(x²-3x+2) + 1/(x-1)$$x²-4$, unde x ≠ 1 și x ≠ 2:

1. Mai întâi factorizăm x²-3x+2: x²-3x+2 = x$x-1$ - 2$x-1$ = $x-1$$x-2$

2. Apoi simplificăm expresia: E(x) = $1/((x-1)(x-2)) + 1/(x-1)$$x²-4$ = $(1 + (x-2))/((x-1)(x-2))$$x²-4$ = $(x-1)/((x-1)(x-2))$$x²-4$ = $1/(x-2)$$x²-4$ = $1/(x-2)$$(x+2)(x-2)$ = $x+2$

3. Pentru H = 5/$n+2$ care trebuie să fie număr natural, unde n este număr întreg și n ≠ 1, n ≠ 2:

   • Asta înseamnă că n+2 trebuie să fie divizor al lui 5
   • Deci n+2 ∈ {1, 5}
   • Pentru n+2 = 1 → n = -1
   • Pentru n+2 = 5 → n = 3

Observație: Când lucrezi cu fracții, caută să factorizezi și să simplifici înainte de a face calcule complexe!

Funcții și reprezentări geometrice

Pentru funcția f: ℝ→ℝ, f(x) = 2x-1:

1. Verificăm că f(0) + f(1) = 0:

   • f(0) = 2×0 - 1 = -1
   • f(1) = 2×1 - 1 = 1
   • f(0) + f(1) = -1 + 1 = 0 ✓

2. Trebuie să găsim punctele de intersecție cu axele:

   • Cu Ox: f(x) = 0 → 2x - 1 = 0 → x = 1/2 → A(1/2, 0)
   • Cu Oy: x = 0 → f(0) = -1 → B(0, -1)

3. Pentru a afla distanța de la punctul C(-1/2, 0) la dreapta AB:

   • Observăm că triunghiul ABC este isoscel
   • Aria triunghiului ABC poate fi calculată ca: A(ABC) = 2 × A(AOB) = 2 × (1/2 × 1/2 × 1) = 1/2 cm²
   • Distanța se calculează din formula: A(ABC) = (distanța × AB)/2

Formula utilă: Aria unui triunghi poate fi calculată și prin formula: Aria = (baza × înălțimea)/2