Divizibilitate și criterii

Fiecare număr are doi divizori improprii: 1 și el însuși. Toți ceilalți se numesc divizori proprii.

Există câteva trucuri simple pentru a afla dacă un număr se împarte exact cu altul:

• Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este pară
• Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor lui se divide cu 3
• Un număr este divizibil cu 5 când ultima cifră este 0 sau 5
• Un număr este divizibil cu 6 când se împarte atât cu 2 cât și cu 3

💡 Știai că? Poți verifica dacă un număr se împarte cu 9 adunând toate cifrele lui. Dacă suma lor se împarte cu 9, atunci și numărul inițial se împarte cu 9!

Pentru fracțiile zecimale, putem să le transformăm în fracții ordinare astfel: la numărător scriem toate cifrele (fără virgulă), iar la numitor scriem 1 urmat de atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă. De exemplu: 0,3 = 3/10.

Transformarea fracțiilor zecimale

Când transformăm fracții zecimale periodice simple (unde perioada începe imediat după virgulă):

• La numărător: scriem numărul fără virgulă și scădem cifrele de dinainte de perioadă
• La numitor: scriem atâția de 9 câte cifre sunt în perioadă

De exemplu: 0,(4) = 4/9 și 3,(25) = $325-3$/99 = 322/99

Pentru fracții zecimale periodice mixte (unde perioada nu începe imediat după virgulă):

• La numărător: scriem tot numărul fără virgulă și scădem numărul format până la perioadă
• La numitor: punem atâția de 9 câte cifre sunt în perioadă și atâția de 0 câte cifre sunt între virgulă și perioadă

💡 Exemplu util: Fracția 1,12(7) se transformă așa: $1127-12$/90 = 115/90 = 23/18

Fracțiile ordinare se pot citi în mai multe feluri: 1/2 poate fi "o doime", "o jumătate" sau "unu pe doi".

Proporții și probabilități

O proporție este o egalitate între două rapoarte: a/b = c/d. Într-o proporție avem:

• doi termeni extremi: a și d
• doi termeni medii: b și c

Proprietatea fundamentală a proporției spune că: dacă a/b = c/d, atunci a·d = b·c. Este un truc foarte util!

De exemplu, dacă 2/5 = 4/10, putem verifica: 2·10 = 5·4, adică 20 = 20, deci proporția este corectă.

💡 Secretul proporțiilor: Poți înmulți ambii termeni ai unui raport cu același număr și vei obține un raport egal cu cel inițial!

Probabilitatea unui eveniment se calculează împărțind numărul de cazuri favorabile la numărul de cazuri posibile. De exemplu, dacă avem 2 cazuri favorabile din 6 posibile, probabilitatea este 2/6 = 1/3.

Radicali și operații cu ei

Radicalii sunt foarte utili, dar trebuie să știm câteva reguli pentru a lucra cu ei:

1. Produsul radicalilor: √a · √b = √(a·b) De exemplu: √16 · √4 = 4 · 2 = 8

2. Împărțirea radicalilor: (a√m)/(b√n) = (a/b) · √(m/n)

3. Adunarea radicalilor: a√d + b√d = $a+b$√d De exemplu: 3√2 + 7√2 = 10√2

💡 Trucul puterilor: Când ridicăm un radical la putere, de exemplu (2√3)^5, înmulțim de 5 ori termenul 2√3 cu el însuși. Rezultatul va fi 2^5 · √$3^5$ = 32 · √243 = 32 · 3√3 = 288√3

O regulă importantă: a√b = √(a²·b), când a√b ≥ 0. Această transformare ne ajută să simplificăm multe calcule cu radicali.