Calcul cu fracții și puteri

Să rezolvăm exercițiul 3 - $\frac{5}{2}$$^2$ : $\frac{3}{4}$.

Prima dată, rezolvăm ce avem în paranteză. Pentru a face scăderea, trebuie să aducem termenii la același numitor:

3 - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6-5}{2}$ = $\frac{1}{2}$

Acum calculăm expresia: $\frac{1}{2}$$^2$ : $\frac{3}{4}$

Când ridicăm o fracție la putere, ridicăm atât numărătorul cât și numitorul: $\frac{1}{2}$$^2$ = $\frac{1^2}{2^2}$ = $\frac{1}{4}$

Sfat util: Când calculezi cu fracții, asigură-te că faci operațiile în ordinea corectă. Mai întâi parantezele, apoi puterile, și în final împărțirea sau înmulțirea!

Acum facem împărțirea: $\frac{1}{4}$ : $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3}$ = $\frac{1}{3}$

Rezultatul corect este $\frac{1}{3}$.

Rezolvarea proporțiilor

Să rezolvăm ecuația $\frac{x-2}{6} = \frac{7}{12}$.

Când avem două fracții egale, putem aplica regula înmulțirii în cruce (sau "produsul mediilor este egal cu produsul extremelor"):

$(x-2) \cdot 12 = 6 \cdot 7$

Înmulțim: $12x - 24 = 42$

Adunăm 24 la ambele părți: $12x = 42 + 24$ $12x = 66$

Împărțim cu 12: $x = \frac{66}{12} = 5,5$

Reține: La proporții, înmulțirea în cruce este cea mai rapidă metodă de rezolvare. Verifică întotdeauna rezultatul în ecuația originală!

Verificare: $\frac{5,5-2}{6} = \frac{3,5}{6} = \frac{7}{12}$

Deci $x = 5,5$ este soluția corectă.

Produsul numerelor dintr-un interval

Să calculăm produsul numerelor întregi din intervalul (-1,4).

Mai întâi, identificăm ce numere conține intervalul:

• Intervalul (-1,4) este deschis, deci nu include capetele -1 și 4
• Ne interesează doar numerele întregi din acest interval

Deci avem numerele: 0, 1, 2, 3

Calculăm produsul lor: $0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 0$

Important: Orice număr înmulțit cu zero dă rezultatul zero! Deci dacă ai zero într-un produs, rezultatul final va fi întotdeauna zero.

Produsul numerelor întregi din intervalul (-1,4) este 0.

Ecuație cu mai multe necunoscute

Să rezolvăm: dacă $5a + 15b + 2c = 48$ și $c = 4$, cât este $a + 3b$?

Înlocuim $c = 4$ în ecuație: $5a + 15b + 2 \cdot 4 = 48$ $5a + 15b + 8 = 48$ $5a + 15b = 48 - 8$ $5a + 15b = 40$

Împărțim toată ecuația la 5: $a + 3b = 8$

Deci $a + 3b = 8$ este rezultatul căutat.

Pont: Când vrei să afli valoarea unei expresii precum $a + 3b$, nu e necesar să calculezi valorile individuale ale lui $a$ și $b$ dacă poți ajunge direct la expresie!

Calculul mediei aritmetice

Trebuie să verificăm care elev a calculat corect media aritmetică a numerelor $x = 3\sqrt{3} - 4$ și $y = 5\sqrt{3} + 4$.

Formula mediei aritmetice este $m_a = \frac{x + y}{2}$.

Calculăm: $m_a = \frac{3\sqrt{3} - 4 + 5\sqrt{3} + 4}{2}$

Adunăm termenii asemenea: $m_a = \frac{8\sqrt{3} + 0}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Sfat: Când aduni expresii cu radicali, poți aduna doar termenii care au același radical. În cazul acesta, $3\sqrt{3}$ și $5\sqrt{3}$ au același radical $\sqrt{3}$.

Verificând tabelul, elevul care a calculat corect este Emil, cu rezultatul $4\sqrt{3}$.

Problema cu prețuri

Un creion și un stilou costă 7 lei. Stiloul este cu 3 lei mai scump decât creionul. Maria afirmă că prețul unui creion este de 2 lei. Să verificăm dacă are dreptate.

Notăm prețurile:

• creion = $c$ lei
• stilou = $s$ lei

Din enunț avem două ecuații:

1. $c + s = 7$ (împreună costă 7 lei)
2. $s = c + 3$ (stiloul e cu 3 lei mai scump)

Înlocuim a doua ecuație în prima: $c + (c + 3) = 7$ $2c + 3 = 7$ $2c = 4$ $c = 2$

Gândește practic: Poți verifica rezultatul! Dacă creionul costă 2 lei, stiloul costă 2+3=5 lei, și împreună dau 2+5=7 lei.

Deci Maria are dreptate, creionul costă 2 lei.

Problema de geometrie cu segmente

În figura dată, $AB = 6$ cm și $BF = 4$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele segmentelor $AB$ și $BC$. Să găsim lungimea segmentului $EC$.

Știm că $E$ este mijlocul lui $AB$, deci: $AE = EB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ cm

De asemenea, $F$ este mijlocul lui $BC$, deci: $BF = FC = 4$ cm

Acum putem calcula $EC$: $EC = EB + BC = 3 + (BF + FC) = 3 + 4 + 4 = 11$ cm

Vizualizează: Desenează figura pe hârtie și marchează toate lungimile cunoscute. Acest lucru te ajută să vezi mai clar cum să rezolvi problema!

Deci lungimea segmentului $EC$ este 11 cm.

Unghiuri în jurul unui punct

În figura dată, avem unghiuri în jurul punctului O: $\angle AOB = 2x + 45°$, $\angle BOC = x + 30°$, $\angle COD = x$ și $\angle DOA = 3x + 5°$. Să aflăm valoarea lui $x$.

Știm că suma unghiurilor în jurul unui punct este $360°$: $\angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA = 360°$

Înlocuim valorile: $(2x + 45°) + (x + 30°) + x + (3x + 5°) = 360°$

Adunăm termenii cu $x$: $7x + 80° = 360°$ $7x = 360° - 80° = 280°$ $x = 40°$

Reține: Suma unghiurilor în jurul unui punct este întotdeauna 360°, iar suma unghiurilor într-un triunghi este 180°.

Deci $x = 40°$.

Triunghi dreptunghic cu bisectoare

În triunghiul dreptunghic $ABC$, cu unghi drept în $A$ și $\angle C = 30°$, bisectoarea unghiului $B$ intersectează latura $AC$ în $D$. Dacă $BC = 8$ cm, să aflăm distanța de la $A$ la dreapta $BC$.

Mai întâi, calculăm $\angle B$: Într-un triunghi, suma unghiurilor este $180°$ $90° + \angle B + 30° = 180°$ $\angle B = 60°$

Dacă $BS$ este bisectoare, atunci $\angle ABC = \angle CBS = 30°$

În triunghiul $BSC$, avem $\angle C = \angle B = 30°$, deci triunghiul este isoscel, ceea ce înseamnă că $BS = BC = 8$ cm.

Teorema înălțimii: Distanța de la un vârf la o dreaptă este perpendiculara coborâtă din acel vârf pe dreaptă.

Folosind teorema unghiului de 30°, distanța de la $A$ la $BC$ este jumătate din ipotenuza $BC$, adică $8/2 = 4$ cm.

Paralelogram și puncte de intersecție

În paralelogramul $ABCD$, diagonala $AC = 12$ cm. $E$ este mijlocul laturii $AB$, iar segmentele $DE$ și $AC$ se intersectează în $F$. Să găsim lungimea segmentului $AF$.

Când o mediană și o diagonală se intersectează într-un paralelogram, punctul de intersecție împarte diagonala în raportul 1:2.

Astfel, $AF = \frac{AC}{3} = \frac{12}{3} = 4$ cm.

Proprietate utilă: Într-un paralelogram, când o mediană intersectează o diagonală, punctul de intersecție împarte diagonala în raportul 1:2, cu partea mai scurtă spre vârful de unde pleacă mediana.

Deci lungimea segmentului $AF$ este 4 cm.