Noțiuni de bază despre patrulatere

Un patrulater se formează când unim patru puncte necolinare (A, B, C, D) prin segmentele AB, BC, CD și DA. Fiecare trei puncte trebuie să fie necolinare (să nu se afle pe aceeași linie).

Patrulatere pot fi de două tipuri principale:

• Patrulatere convexe - toate unghiurile sunt mai mici de 180°
• Patrulatere concave - au cel puțin un unghi mai mare de 180°

Bine de știut: Poți recunoaște ușor un patrulater convex prin faptul că orice linie dreaptă intersectează perimetrul său în maximum două puncte!

Desenul din manual arată diferite puncte (A, B, C, D, M, N, P, Q) care pot forma patrulatere diferite. Când lucrezi cu patrulatere, e important să denumești corect vârfurile pentru a putea identifica laturile și unghiurile.

Proprietățile patrulatetelor și paralelogramul

Într-un patrulater, suma măsurilor celor 4 unghiuri este întotdeauna 360°. Asta te va ajuta să găsești unghiuri necunoscute!

Perimetrul unui patrulater se calculează simplu adunând lungimile tuturor laturilor: P₍ABCD₎ = AB + BC + CD + AD

Paralelogramul este un patrulater convex special care are laturile opuse paralele două câte două. El are proprietăți super utile:

• Laturile opuse sunt egale
• Unghiurile opuse sunt egale
• Unghiurile consecutive sunt suplementare (suma lor e 180°)
• Diagonalele se înjumătățesc reciproc (au același mijloc O)

Sfat util: Există 6 moduri diferite prin care poți demonstra că un patrulater este paralelogram! Memorează-le pentru a rezolva rapid problemele la teste.

Pentru a demonstra că un patrulater este paralelogram, este suficient să arăți una dintre următoarele situații: laturile opuse paralele, laturile opuse egale, două laturi opuse paralele și congruente, unghiuri opuse egale, două perechi de unghiuri consecutive suplementare, sau diagonalele se înjumătățesc.

Simetria și liniile mijlocii

Centrul de simetrie al unei figuri este un punct O special cu următoarea proprietate: pentru orice dreaptă care trece prin O și intersectează figura în două puncte M și N, avem OM = ON.

La paralelogram, punctul de intersecție al diagonalelor (centrul paralelogramului) este și centru de simetrie. Însă este important să știi că paralelogramul nu are axă de simetrie!

Linia mijlocie într-un triunghi este segmentul care unește mijloacele a două laturi. Această linie are două proprietăți esențiale:

• Este paralelă cu a treia latură
• Are lungimea egală cu jumătate din lungimea celei de-a treia laturi

Observație importantă: Liniile mijlocii sunt foarte utile în demonstrații geometrice și în calcularea ariilor - vei folosi des această proprietate!

Când lucrezi cu linii mijlocii, poți crea paralelgrame în interiorul triunghiurilor, ceea ce este foarte util pentru rezolvarea multor probleme.

Rombul și pătratul

Pentru a demonstra că un patrulater este romb, poți arăta:

• Este paralelogram și are două laturi consecutive egale
• Este un patrulater cu toate laturile egale
• Este paralelogram și diagonalele sunt perpendiculare
• Este paralelogram și o diagonală este bisectoare pentru unghiuri

Pătratul poate fi definit în două moduri:

• Este un romb cu un unghi drept
• Este un dreptunghi cu două laturi consecutive egale

Proprietățile pătratului sunt:

• Are toate laturile egale
• Are toate unghiurile drepte
• Diagonalele sunt egale și perpendiculare
• Diagonalele sunt bisectoare pentru unghiurile pătratului

Trucul meu preferat: Pătratul este cel mai "special" patrulater - el are TOATE proprietățile paralelogramului, dreptunghiului și rombului la un loc!

Pentru a demonstra că un patrulater este pătrat, poți arăta: este romb cu un unghi drept, este dreptunghi cu două laturi consecutive egale, este romb cu diagonale egale, este dreptunghi cu diagonale perpendiculare, sau este dreptunghi cu o diagonală bisectoare pentru unghiuri.