Trigonometrie pentru Liceeni: Lecții Complete pentru Clasa a 9-a

Roberta Persu

22.11.2025

Matematică

Lectii Trigonometrie

Materii

Matematică

•

22 nov. 2025

•

3 pagini

Trigonometrie pentru Liceeni: Lecții Complete pentru Clasa a 9-a

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

Roberta Persu

@robertapersu

Trigonometria este un domeniu fascinant al matematicii care te ajută... Afișează mai mult

1 / 3

TRIGG
Sim B = cos(30-3)
Simx
30° 45° 60°
cosB= sim (90-0)
cosx
1
√2
√3
tg 3= ctg (90-8)
2
2
2
ctg B= tg (90°-B)
tgx √3
1
√3
→tter 7 si sunt

Funcții trigonometrice și proprietăți

Știai că funcțiile trigonometrice sunt instrumente matematice care ne ajută să rezolvăm probleme cu unghiuri? Iată valorile importante pentru unghiuri cunoscute:

Avem valorile pentru sin și cos la 30°, 45° și 60°. De exemplu, sin 30° = 1/2, cos 45° = √2/2, iar tg 60° = √3. Acestea sunt valori pe care e bine să le memorezi pentru calcule rapide.

Proprietățile funcțiilor trigonometrice sunt esențiale pentru rezolvarea problemelor:

Valorile lui sin și cos sunt întotdeauna între -1 și 1
Formula fundamentală: sin²t + cos²t = 1
Funcțiile sin și cos sunt periodice cu perioada 2π
Funcțiile tg și ctg sunt periodice cu perioada π

Funcțiile trigonometrice pot fi pare sau impare. O funcție pară respectă f $-x$ = f(x), iar una impară respectă f $-x$ = -f(x). Cos este funcție pară, sin și tg sunt funcții impare.

💡 Sfat practic: Când nu-ți amintești valorile, folosește formula fundamentală sin²t + cos²t = 1 pentru a calcula valoarea necunoscută!

Formule pentru sume și diferențe de unghiuri

Formulele trigonometrice par complicate, dar le vei folosi des și devin ușoare cu practică! Aceste ecuații sunt foarte utile în rezolvarea problemelor complexe.

Pentru sume și diferențe de unghiuri, avem:

sin $a+b$ = sin a·cos b + cos a·sin b
sin $a-b$ = sin a·cos b - cos a·sin b
cos $a+b$ = cos a·cos b - sin a·sin b
cos $a-b$ = cos a·cos b + sin a·sin b

Formulele pentru unghiul dublu sunt foarte folosite:

sin 2a = 2sin a·cos a
cos 2a = cos²a - sin²a
tg 2a = 2tg a/ $1-tg²a$

Iar pentru unghiul de jumătate:

sin $a/2$ = ±√ $(1-cos a)/2$
cos $a/2$ = ±√ $(1+cos a)/2$

💡 Reține: Aceste formule par multe, dar dacă înveți formulele pentru sin și cos, poți deduce restul atunci când ai nevoie de ele!

Transformări și teoreme importante

Transformarea sumelor în produse și a produselor în sume te ajută să simplifici calcule complicate. Este ca și cum ai avea o trusă de unelte matematice!

Pentru transformarea sumelor în produse:

sin x + sin y = 2sin $(x+y)/2$ ·cos $(x-y)/2$
cos x + cos y = 2cos $(x+y)/2$ ·cos $(x-y)/2$

Și invers, pentru transformarea produselor în sume:

sin x·sin y = $cos(x-y) - cos(x+y)$ /2
sin x·cos y = $sin(x+y) + sin(x-y)$ /2

Teorema sinusurilor în triunghiul ABC spune că: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Teorema cosinusului ne oferă: c² = a² + b² - 2ab·cos C, ceea ce este o generalizare a teoremei lui Pitagora!

💡 Aplicație practică: Teorema cosinusului este extrem de utilă când cunoști două laturi și unghiul dintre ele și vrei să afli a treia latură a unui triunghi!

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

Companionul nostru AI este creat special pentru nevoile studenților. Bazându-ne pe milioanele de materiale de pe platformă, putem oferi răspunsuri exacte și relevante pentru studenți. Dar nu este vorba doar despre răspunsuri, companionul este mai ales despre ghidarea studenților prin provocările zilnice de învățare, cu planuri de studiu personalizate, chestionare sau conținuturi în chat și personalizare 100% bazată pe abilitățile și evoluțiile studenților.

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Da! Bucură-te de access la materiale de studiu, conectează-te cu alți elevi, și primește ajutor instant - toate acestea la un click distanță. În plus, câștigă puncte ca să deblochezi mai multe funcționalități!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Aplicația este foarte ușor de utilizat și bine concepută. Am găsit tot ce căutam până acum și am reușit să învăț multe din prezentări! Cu siguranță voi folosi aplicația pentru o temă la clasă! Și desigur, ajută mult ca sursă de inspirație.

Ștefan S

utilizator iOS

Această aplicație este super. Sunt atât de multe materiale de studiu și ajutor pentru elevi [...]. Materia mea mai problematică este franceza, de exemplu, și aplicația oferă foarte multe materiale ajutătoare. Mulțumită acestei aplicații, mi-am îmbunătățit franceza. Aș recomanda-o oricui.

Samantha Klich

utilizator Android

Wow, sunt cu adevărat impresionat. Am încercat aplicația pentru că am văzut-o promovată de multe ori și am rămas uimit. Aceasta este AJUTORUL de care ai nevoie pentru școală și, mai presus de toate, oferă atât de multe lucruri, precum exerciții și fișe de informații, care mi-au fost FOARTE de ajutor.

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Aplicația e grozavă! Tot ce trebuie să fac este să introduc subiectul în bara de căutare și primesc răspunsul foarte rapid. Nu mai trebuie să mă uit la 10 videoclipuri pe YouTube pentru a înțelege ceva, deci îmi economisesc timpul. Super recomandat!

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Nu mai trebuie să stau cu orele să învăț după caiet când pot să citesc de 2 ori lecțiile care apar aici și iau 10 la test ! Knowunity m-a ajutat să iau nota 9,20 la română ! Voi recomanda ff tare aceasta aplicate , să nu uităm ca are și chat GPT !👍🏻

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Ștefan S

utilizator iOS

Samantha Klich

utilizator Android

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Materii

Matematică

•

22 nov. 2025

•

3 pagini

Trigonometrie pentru Liceeni: Lecții Complete pentru Clasa a 9-a

Roberta Persu

@robertapersu

Trigonometria este un domeniu fascinant al matematicii care te ajută să calculezi unghiuri și distanțe în diferite figuri geometrice. Această ramură matematică are aplicații numeroase, de la arhitectură până la navigație, și se bazează pe funcții specifice precum sinus, cosinus... Afișează mai mult

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Funcții trigonometrice și proprietăți

Știai că funcțiile trigonometrice sunt instrumente matematice care ne ajută să rezolvăm probleme cu unghiuri? Iată valorile importante pentru unghiuri cunoscute:

Avem valorile pentru sin și cos la 30°, 45° și 60°. De exemplu, sin 30° = 1/2, cos 45° = √2/2, iar tg 60° = √3. Acestea sunt valori pe care e bine să le memorezi pentru calcule rapide.

Proprietățile funcțiilor trigonometrice sunt esențiale pentru rezolvarea problemelor:

Valorile lui sin și cos sunt întotdeauna între -1 și 1
Formula fundamentală: sin²t + cos²t = 1
Funcțiile sin și cos sunt periodice cu perioada 2π
Funcțiile tg și ctg sunt periodice cu perioada π

Funcțiile trigonometrice pot fi pare sau impare. O funcție pară respectă f $-x$ = f(x), iar una impară respectă f $-x$ = -f(x). Cos este funcție pară, sin și tg sunt funcții impare.

💡 Sfat practic: Când nu-ți amintești valorile, folosește formula fundamentală sin²t + cos²t = 1 pentru a calcula valoarea necunoscută!

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Formule pentru sume și diferențe de unghiuri

Formulele trigonometrice par complicate, dar le vei folosi des și devin ușoare cu practică! Aceste ecuații sunt foarte utile în rezolvarea problemelor complexe.

Pentru sume și diferențe de unghiuri, avem:

sin $a+b$ = sin a·cos b + cos a·sin b
sin $a-b$ = sin a·cos b - cos a·sin b
cos $a+b$ = cos a·cos b - sin a·sin b
cos $a-b$ = cos a·cos b + sin a·sin b

Formulele pentru unghiul dublu sunt foarte folosite:

sin 2a = 2sin a·cos a
cos 2a = cos²a - sin²a
tg 2a = 2tg a/ $1-tg²a$

Iar pentru unghiul de jumătate:

sin $a/2$ = ±√ $(1-cos a)/2$
cos $a/2$ = ±√ $(1+cos a)/2$

💡 Reține: Aceste formule par multe, dar dacă înveți formulele pentru sin și cos, poți deduce restul atunci când ai nevoie de ele!

Înscrie-te pentru a vedea CONȚINUTULE gratuit!

Acces la toate documentele

Îmbunătățește notele tale!

Alătură-te milioanelor de elevi

Prin înregistrare, accepți Termenii de serviciu și Politica de confidențialitate

Transformări și teoreme importante

Transformarea sumelor în produse și a produselor în sume te ajută să simplifici calcule complicate. Este ca și cum ai avea o trusă de unelte matematice!

Pentru transformarea sumelor în produse:

sin x + sin y = 2sin $(x+y)/2$ ·cos $(x-y)/2$
cos x + cos y = 2cos $(x+y)/2$ ·cos $(x-y)/2$

Și invers, pentru transformarea produselor în sume:

sin x·sin y = $cos(x-y) - cos(x+y)$ /2
sin x·cos y = $sin(x+y) + sin(x-y)$ /2

Teorema sinusurilor în triunghiul ABC spune că: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Teorema cosinusului ne oferă: c² = a² + b² - 2ab·cos C, ceea ce este o generalizare a teoremei lui Pitagora!

💡 Aplicație practică: Teorema cosinusului este extrem de utilă când cunoști două laturi și unghiul dintre ele și vrei să afli a treia latură a unui triunghi!

Credeam că nu vei întreba niciodată...

Ce este Companionul AI Knowunity?

De unde pot descărca aplicația Knowunity?

Aplicația este disponibilă în Google Play Store și Apple App Store.

Este Knowunity chiar gratuită?

Instrumente inteligente NOU

Transformă această notiță în: ✓ 50+ întrebări de exersare ✓ Flashcard-uri interactive ✓ Simulare completă ✓ Planuri de eseu

Simulare

Quiz

Flashcard-uri

Eseu

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Recenzii de la utilizatorii noștri. Ei iubesc să folosească Knowunity — și tu o vei face.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Ștefan S

utilizator iOS

Samantha Klich

utilizator Android

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS

Ștefan S

utilizator iOS

Samantha Klich

utilizator Android

Anna

utilizator iOS

Te ajută să înveți foarte repede și ști foarte bine ce ai dori tu să înveți, vă recomand cu drag să încercați și să învățați mai repede.!

Thomas R

utilizator iOS

Foarte bună aplicația!!!! Mă ajută să înțeleg mult mai bine lecțiile și temele le termin mult mai repede.👍❤️

Paul P

utilizator Android

Te ajută foarte bine la teme acest robot,recomand!

David K

utilizator iOS

Sudenaz Ocak

utilizator Android

La școală eram chiar slab la matematică, dar datorită aplicației, mă descurc mai bine acum. Sunt atât de recunoscător că ai creat aplicația.

Greenlight Bonnie

utilizator Android

Această aplicație e super interesantă și seamănă ca tiktok-ul doar că tu ai doar teorie și explicații.

Karla S

utilizator Android

Denisa B

utilizator iOS

m-a ajutat foarte mult să înțeleg anumite exerciții la diferite materii , mă ajută foarte mult la teme , explicându-mi pas cu pas tot , o aplicație excelentă !! RECOMAND !

Sarah L

utilizator Android

Este foarte bună te ajută la teme te face să înțelegi lecțiile am înțeles o lecție în 20 de minute i singură nu reușeam să o învăț dar cu Knowunity am învățat-o foarte ușor

Alessia V

utilizator iOS