Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Română

https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/0194a8f2-5a32-70d4-adf2-546b7296df47.pdf

0194a8f2-5a32-70d4-adf2-546b7296df47

Notiță

Ana Maria

Romania

Școală profesională

Matematică

Formule matematica gimnaziu

# Aritmetica şi algebra

## Mulţimi
- $\in$ aparţine  - $\notin$ nu aparţine  - $\subset$ inclusă  - $\supset$ include
- $\emptyset$ mulţimea vidă (mulţime care nu are elemente)
- $A \cup B$ reuniune
- $A \cap B$ intersecţie
- $|A|$ cardinalul unei mulţimi (numărul elementelor)
- $A \setminus B$ diferenţă
- $A \times B$ produs cartezian
- $\mathbb{N}$ naturale: {0, 1, 2, ...}
- $\mathbb{Z}$ întregi: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
- $\mathbb{Q}$ raţionale: {$\frac{a}{b}$ | $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z}$ \ $b \ne 0$}
- $\mathbb{R}$ reale: (1,2,3,...)
- $\mathbb{C}$ complexe: $a + bi$, $a, b \in \mathbb{R}$, $i^2 = -1$

## Operaţii cu mulţimi
- reuniune: $A \cup B = \{x | x \in A \text{ sau } x \in B\}$ 
- intersecţie: $A \cap B = \{x | x \in A \text{ şi } x \in B\}$ 
- diferenţă: $A \setminus B = \{x | x \in A \text{ şi } x \notin B\}$ 
- produs cartezian: $A \times B = \{(a, b) | a \in A, b \in B\}$

## Reguli de calcul
### Fracţii zecimale
1,37 + 4,53 = 5,97; 3,7 - 1,2 = 2,5; 3,1 \times 1,8 = 5,58; 38,7 : 10 = 3,87; 0,02 \times 20 = 0,4; 20 : 0,02 = 1000
2,3 + 4,5 = 6,8; 36,2 : 2,7 = 13,4; 0,007 \times 0,7 = 0,0049; 0,26 : 0,02 = 13
7,1 - 3 = 4,1; 0,5 \times 0,5 = 0,25; 0,02 \times 0,02 = 0,0004; 0,25 : 0,5 = 0,5
(-3) + 5 = 2; (-5) + (-2) = -7; (-3) \times 5 = -15; (-5) \times (-2) = 10

### Numere întregi
- Opusul lui 35 este -35; Opusul lui -8 este 8

### Puteri
- $(-2)^1 = -2$; $(-2)^2 = 4$; $(-2)^3 = -8$; $(-2)^4 = 16$; $(-2)^5 = -32$; $(-2)^6 = 64$; $(-2)^7 = -128$; $(-2)^8 = 256$
- $7^1 = 7$; $7^2 = 49$; $7^3 = 343$; $7^4 = 2401$

### Radicali
- $\sqrt{1} = 1$; $\sqrt{4} = 2$; $\sqrt{9} = 3$; $\sqrt{16} = 4$; $\sqrt{25} = 5$; $\sqrt{36} = 6$; $\sqrt{49} = 7$; $\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{81} = 9$; $\sqrt{100} = 10$
- $\sqrt{121} = 11$; $\sqrt{144} = 12$; $\sqrt{169} = 13$; $\sqrt{196} = 14$; $\sqrt{225} = 15$; $\sqrt{256} = 16$; $\sqrt{289} = 17$; $\sqrt{324} = 18$; $\sqrt{361} = 19$; $\sqrt{400} = 20$

### Fracţii ordinare
$\frac{1}{5} = 0,2$; $\frac{1}{4} = 0,25$; $\frac{1}{3} = 0,333...$; $\frac{1}{2} = 0,5$; $\frac{3}{4} = 0,75$; $\frac{2}{5} = 0,4$; $\frac{1}{8} = 0,125$; $\frac{3}{8} = 0,375$; $\frac{5}{8} = 0,625$; $\frac{7}{8} = 0,875$

### Fracţii egiptene
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$; $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$; $\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$; $\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}$; $\frac{2}{11} = \frac{1}{6} + \frac{1}{66}$; $\frac{2}{13} = \frac{1}{7} + \frac{1}{91}$ 

### Radicali
$\sqrt{432} = \sqrt{144 \times 3} = 12\sqrt{3}$; $\sqrt{813} = \sqrt{9 \times 90 + 3} = 9\sqrt{10 + \frac{3}{9}}$

### Scăderea factorilor de sub radical
$\sqrt{65} - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{13} - 1)$; $\sqrt{75} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{25} - 1) = 4\sqrt{3}$

### Ratioualizarea numitorului
$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$; $\frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$; $\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$; $\frac{7}{\sqrt{7}} = \sqrt{7}$; $\frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}$; $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$

### Calcul algebric
$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{5x}{6}$; $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = \frac{x}{6}$; $\frac{x}{2} \times \frac{x}{3} = \frac{x^2}{6}$; $\frac{x}{2} : \frac{x}{3} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$

### Trecerea termenilor dintr-un membru in altul in egalitati: termenii se pot trece dintr-un membru in altul cu semnul schimbat
$x + 3 = 5 \Rightarrow x = 5 - 3 = 2$; $x - 2 = 7 \Rightarrow x = 7 + 2 = 9$; $x + y = 5 \Rightarrow x = 5 - y$; $2x + 3 = 5 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$
$3x - 4 = 8 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$; $x - y = 3 \Rightarrow x = 3 + y$; $xy = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{y}$ 

## Modul (valoare absolută)
$|x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0\\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}$ 
$|x| = \sqrt{x^2}$ 
$|x| \ge 0$; $|x| = |-x|$; $|x \times y| = |x| \times |y|$; $|x + y| \le |x| + |y|$
$|x - 3| = 5 \Rightarrow x - 3 = 5 \text{ sau } x - 3 = -5 \Rightarrow x = 8 \text{ sau } x = -2$
$|x| = 3 \Rightarrow x = 3 \text{ sau } x = -3$; $|x - 1| = 2 \Rightarrow x - 1 = 2 \text{ sau } x - 1 = -2 \Rightarrow x = 3 \text{ sau } x = -1$
$|x - 2| = 0 \Rightarrow x = 2$; $|x + 1| = 0 \Rightarrow x = -1$; $|x - 1| = 1 \Rightarrow x = 2 \text{ sau } x = 0$
$|\sqrt{5} - 2| \approx 0,236$; $|\sqrt{17} - 4| \approx 0,123$; $|\sqrt{2} - 1| \approx 0,414$; $|\sqrt{3} - 1,732| \approx 0,000$

## Intervale
$(x \in \mathbb{R} | 2 \le x \le 5)$ interval închis
$[2, 5]$ interval închis
$(2, 5)$ interval deschis
$[2, 5)$ interval semiînchis
$(2, 5]$ interval semiînchis
$(x \in \mathbb{R} | x < 2)$ minus infinit
$(x \in \mathbb{R} | x > 2)$ plus infinit

## Descompunerea expresiilor in factori
### Prin factor comun
$2x + 4 = 2(x + 2)$; $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$; $x^2 - 4x = x(x - 4)$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$; $x^3 - 6x^2 + 9x = x(x^2 - 6x + 9) = x(x - 3)^2$

### Prin grupare de termeni
$2x^2 + 2x + xy + y = 2x(x + 1) + y(x + 1) = (2x + y)(x + 1)$
$x^3 + x^2 - 9x - 9 = x^2(x + 1) - 9(x + 1) = (x^2 - 9)(x + 1) = (x - 3)(x + 3)(x + 1)$

### Prin formule
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$; $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$; $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3) = (2x + 1)(x + 3)$
$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$; $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$; $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$

## Ecuaţia de gradul doi (forma generală: $ax^2 + bx + c = 0$)
### Rezolvare: formula delta: $\Delta = b^2 - 4ac$
$\text{Dacă } \Delta \ge 0$, soluţiile sunt: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\text{Dacă } \Delta < 0$, soluţiile nu sunt reale

## Unităţi de măsură
### Lungime
- 30 mm = 3 cm
- 2,5 cm = 25 mm
- 700 cm = 7 m
- 1,3 dm = 13 cm
- 5,7 hm = 570 m
- 0,07 km = 70 m
- 2000 m = 2 km
- 7 km = 7000 m
- 0,05 km = 50 m
- 1 ha = 10000 $m^2$
- 0,02 ha = 200 $m^2$
- 0,04 ha = 400 $m^2$
- 13,3 mm = 1,33 cm
- 5,7 hm = 570 m
### Arie
- 7 $km^2$ = 700 ha
- 2 $km^2$ = 200 ha
- 0,05 $km^2$ = 5 ha
- 1 $dam^2$ = 100 $m^2$
- 0,02 ha = 200 $m^2$
- 0,04 ha = 400 $m^2$
### Volum
- 5 $km^3$ = 5000 $hm^3$
- 0,05 $km^3$ = 50 $hm^3$
- 1 $m^3$ = 1000 $dm^3$
- 1 $dm^3$ = 1000 $cm^3$
- 3 $m^3$ = 3000 $dm^3$
- 0,25 $dam^3$ = 250 $m^3$
### Capacitate
- 1 $l$ = 1000 $ml$
- 3 $dl$ = 300 $ml$
- 1 $dal$ = 10 $l$
- 125 $ml$ = 0,125 $l$
- 0,07 $kl$ = 70 $l$
- 3 $cl$ = 0,3 $dl$
### Masă
- 4 kg = 4000 g
- 700 g = 0,7 kg
- 45 $dag$ = 450 g
- 200 g = 0,2 kg
- 6,23 kg = 6230 g
- 3000 g = 3 kg
- 34 $dag$ = 0,34 kg
### Timp
- 1 minut = 60 secunde
- 1 oră = 60 minute
- 1 sec = 1000 ms
- 1 mileniu = 1000 ani
- 1/2 oră = 30 minute
- 1/4 oră = 15 minute

## Sisteme de ecuaţii
### Rezolvare prin metoda substituţiei
- $2x + y = 11$  $2(4 + y) + y = 11$  $8 + 3y = 11$  $3y = 3$  $y = 1$
- $x - y = 4$  $x = 4 + y$  $x = 4 + 1 = 5$

### Rezolvare prin metoda reducerii (se adună ecuaţiile)
- $3x + y = 22$  $3x + y = 22$
- $3x - y = 26$  $6x = 48$  $x = 8$  $y = 6$

## Sistem de axe
### Oxa absciselor
### Oxa ordonatelor
### Punctul O(0,3)
### Numărul 5 este abscisa, iar 3 este ordonata

## Funcţii
Spunem că $f$ definit o funcţie pe mulţimea A cu valori în mulţimea B dacă facem o corespondenţă din A în B astfel încât fiecărui element din A îi corespunde un singur element în B
- A = domeniul de definiţie; B = codomeniul de valori
- $f: A \to B$ (funcţia $f$ de la A la B)
- $f(x)$ = imaginea lui x prin f

### Funcţie liniară: $y = f(x) = ax + b$  $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$  $f(x) = ax + b$
### Reprezentare grafică: Este o funcţie de forma $y = f(x) = ax + b$
Calculul coordonatelor punctelor
Intersecţia cu axa Oy: $x = 0 \Rightarrow y = f(0) = b$
Intersecţia cu axa Ox: $y = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$

### Dacă punctul P(x,y) se află pe graficul funcţiei $y = f(x)$, atunci $y = f(x)$
### Determinarea funcţiei de gradul 1 cunoscând două puncte ale graficului
Calculul coordonatelor punctelor de intersecţie a graficului funcţiei $f(x) = x^2 - 5x + 6$ cu axele Ox şi Oy
$f(0) = 6$; $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ sau } x = 3$
$f(x) = x^2 - 5x + 6$; $f(x) = x^2 - 2x + 9$; Se rezolvă sistemul de ecuaţii $\begin{cases} y = x^2 - 5x + 6\\ y = x^2 - 2x + 9 \end{cases}$ 

## Divizibilitate
2 | 18 (2 divide pe 18); 18:18 este divizibil cu 3
218 = 2 \times 109

## Numere prime
Mulţimea primelor numere prime: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...}
Divizorii lui 18 sunt: {1, 2, 3, 6, 9, 18}

## Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)
- c.m.m.d.c. (12, 18) = 6
- c.m.m.d.c. (8, 12, 16) = 4

## Numere compuse
Cel mai mare număr compus: (8, 12, 16) = 4

## Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)
- c.m.m.m.c. (2, 3, 4) = 12
- c.m.m.m.c. (6, 8, 12) = 24

## Relaţii între c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c.
Dacă a şi b sunt numere naturale, atunci $a \times b = c.m.m.d.c.(a, b) \times c.m.m.m.c.(a, b)$

## Criterii de divizibilitate
- 2 - dacă ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8 (ex: 756, 1934)
- 3 - dacă suma cifrelor se divide cu 3 (ex: 291, 1002)
- 4 - dacă numărul format din ultimele 2 cifre se divide cu 4 (ex: 800, 912)
- 5 - dacă ultima cifră este 0 sau 5 (ex: 230, 495)
- 6 - dacă numărul se divide cu 2 şi cu 3 (ex: 132, 258)
- 8 - dacă numărul format din ultimele 3 cifre se divide cu 8 (ex: 9001)
- 9 - dacă suma cifrelor se divide cu 9 (ex: 135, 495)
- 10 - dacă se termină în 0 (ex: 230, 1990)
- 25 - dacă se termină în 25 (ex: 750, 1975)
- 100 - dacă se termină în 00 (ex: 2300, 19900)

## Fracţii
- $\frac{a}{b}$: a - numărător; b - numitor

### Subtracţie
- echivalenţă: au numitorul = numărătorul
- supraunire: au numitorul > numărătorul
- ireductibile: care nu se pot simplifica
- echivalente: care se pot simplifica

### Reducere
- echivalente: care se reduc succesiv. Ex: $\frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

### Procent
75% din 300 = 225

### Raport
$\frac{7}{100} = 7%$; $\frac{3}{5} = 60%$; $\frac{2}{3} = 66,66...%$

### Proprietăţi ale mărimii de două mărimi proporţionale
2,3,4,5 - o serie de termeni proporţionali

### Proprietăţi fundamentale ale unei proporţii
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc$

## Numerele x, y, z sunt direct proporţionale cu 2, 3, 7
$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{7}$

## Reguli de trei simple
### Regula de trei direct proporţională
Ex: Dacă 3 kg de mere costă 12 lei, cât costă 5 kg?
$\frac{3}{12} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = 20$
Ex: În 5 minute un robinet umple un bazin. În cât timp umple bazinul 2 robinete?
$\frac{1}{5} = \frac{2}{x} \Rightarrow x = 10$
Ex: Dacă 3 robinete umplu un bazin în 20 minute. Cât timp umple bazinul 5 robinete?
$\frac{3}{20} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = \frac{100}{3} \approx 33,33$ minute

## Probabilitatea unui eveniment
$\frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile}$

## Medii
### Aritmetică: $m = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$
### Geometrică: $m = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times ... \times x_n}$
### Armonică: $m = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$

### Inegalitatea mediilor: $m_h \le m_g \le m_a$
Media aritmetică ponderată a numerelor 3, 6, 9, 12
$\frac{3 \times 1 + 6 \times 2 + 9 \times 3 + 12 \times 4}{10} = \frac{75}{10} = 7,5$


Formule matematica gimnaziu

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț

Formule matematica gimnaziu

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț