Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Română

https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/0194ae29-93b8-7d32-b2b0-2a42bb1f402b.pdf

0194ae29-93b8-7d32-b2b0-2a42bb1f402b

Prezentare

Maria Tudor 

Romania

Gimnaziu

Matematică

Formule matematică

# Aritmetica şi algebra

## Mulţimi
- $\in$ aparţine  - $\notin$ nu aparţine  - $\subset$ inclusă  - $\supset$ include
- $\emptyset$ mulţimea vidă (mulţime care nu are elemente)
- $A \cup B$ reuniunea
- $A \cap B$ intersecţia
- Cardinalul unei mulţimi=numărul elementelor
- $card(A)=3$
- $A \setminus B$ diferenţa
- $A \times B$ produs cartezian
- $\mathbb{N}$ naturale: {0,1,2,...}
- $\mathbb{N^*}$ naturale fără 0: {1,2,3,...}
- $\mathbb{Z}$ întregi: {...,-2,-1,0,1,2,...}
- $\mathbb{Q}$ raţionale: $\frac{a}{b}$, $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z^*}$
- $\mathbb{R}$ reale
- $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ iraţionale
- $\mathbb{C}$ complexe
- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

## Operaţii cu mulţimi
- reuniunea: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ sau } x \in B\} = \{1,2,3,4,7,8,9\}$
- intersecţia: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ şi } x \in B\} = \{2,7\}$
- diferenţa: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ şi } x \notin B\} = \{1,3,4\}$
- produs cartezian: $A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\} = \{(1,2),(1,7),(3,2),(3,7),(4,2),(4,7)\}$

## Reguli de calcul
- Fracţii zecimale: 1,37+4,53=5,97; 3,1-1,2=1,9; 3,8*10=38; 10:0,02=500; 20:100=0,2
- Numere întregi: 36:2=18; 27:3=9; 100:25=4; 36:4=9; 0,26:2=0,13
- 2,3+5=7,3; 5-2,3=2,7; 2,3*5=11,5; 5:2,3=2,17
- (-3)+5=2; (-5)+3=-2; (-3)+(-5)=-8; 3+(-5)=-2; (-3)-5=-8; (-5)-(-3)=-2; (-3)*(-5)=15; (-5)*3=-15; 15:(-3)=-5; (-15):3=-5; (-15):(-3)=5
- Opusul lui 35 este -35; opusul lui -35 este 35

## Puteri
- $2^1=2$; $2^2=4$; $2^3=8$; $2^4=16$; $2^5=32$; $2^6=64$; $2^7=128$; $2^8=256$; $2^9=512$; $2^{10}=1024$
- $(-2)^1=-2$; $(-2)^2=4$; $(-2)^3=-8$; $(-2)^4=16$; $(-2)^5=-32$; $(-2)^6=64$; $(-2)^7=-128$; $(-2)^8=256$; $(-2)^9=-512$; $(-2)^{10}=1024$
- $(2^3)^2=2^6=64$; $(2^3)^2=8^2=64$; $(2^3)(2^2)=2^5=32$; $(2^3):(2^2)=2^1=2$

## Radicali
- $\sqrt{1}=1$; $\sqrt{4}=2$; $\sqrt{9}=3$; $\sqrt{16}=4$; $\sqrt{25}=5$; $\sqrt{36}=6$; $\sqrt{49}=7$; $\sqrt{64}=8$; $\sqrt{81}=9$; $\sqrt{100}=10$
- $\sqrt{121}=11$; $\sqrt{144}=12$; $\sqrt{169}=13$; $\sqrt{196}=14$; $\sqrt{225}=15$; $\sqrt{256}=16$; $\sqrt{289}=17$; $\sqrt{324}=18$; $\sqrt{361}=19$; $\sqrt{400}=20$
- Fracţii egiptene: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{7}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{10}$; $\frac{1}{11}$; $\frac{1}{12}$; $\frac{1}{13}$; $\frac{1}{14}$; $\frac{1}{15}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{17}$; $\frac{1}{18}$; $\frac{1}{19}$; $\frac{1}{20}$; $\frac{1}{21}$
- $\sqrt{813}=28,51$; $\sqrt{813}=28,513...$

## Radicali
- $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- $\sqrt{a^2} = |a|$
- $\sqrt{a^2 \cdot b} = |a| \sqrt{b}$
- $\sqrt{a^3} = a \sqrt{a}$
- $\sqrt{a^4} = a^2$
- $\sqrt{a^5} = a^2 \sqrt{a}$
- $\sqrt{a^6} = a^3$

## Calculul algebric
- $2x+y-2y+x=3x-y$
- $2x(x+y)=2x^2+2xy$
- $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
- $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
- $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
- $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$
- $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$
- $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

## Trecerea termenilor dintr-un membru în altul la egalităţi: termenii se pot trece dintr-un membru în altul cu semnul schimbat
- $x+3=5 \Rightarrow x=5-3 \Rightarrow x=2$
- $x-3=5 \Rightarrow x=5+3 \Rightarrow x=8$
- $3x=6 \Rightarrow x=\frac{6}{3} \Rightarrow x=2$
- $\frac{x}{3}=2 \Rightarrow x=2 \cdot 3 \Rightarrow x=6$
- $x+y=5 \Rightarrow x=5-y$
- $x-y=5 \Rightarrow x=5+y$
- $xy=5 \Rightarrow x=\frac{5}{y}$
- $\frac{x}{y}=5 \Rightarrow x=5y$
- $x+y+z=5 \Rightarrow x=5-y-z$
- $x-y-z=5 \Rightarrow x=5+y+z$
- $x+y-z=5 \Rightarrow x=5-y+z$
- $x-y+z=5 \Rightarrow x=5+y-z$

## Modul (valoare absolută)
- $|x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0\\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}$
- $|6|=6$; $|-3|=3$; $|0|=0$; $|-x|=|x|$
- $|x-2|=3 \Rightarrow x-2=3 \text{ sau } x-2=-3 \Rightarrow x=5 \text{ sau } x=-1$
- $|x-2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x-2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5$
- $|x-2| \ge 3 \Rightarrow x-2 \ge 3 \text{ sau } x-2 \le -3 \Rightarrow x \ge 5 \text{ sau } x \le -1$
- $|x-1|+|x-2|=1 \Rightarrow x=1 \text{ sau } x=2$
- $|x-1|-|x-2|=1 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$
- $|x-1|+|x-2| \le 1 \Rightarrow 1 \le x \le 2$
- $|x-1|-|x-2| \le 1 \Rightarrow x \in \mathbb{R}$

## Intervale
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 \le x \le 5)$ interval închis
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 < x < 5)$ interval deschis
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 \le x < 5)$ interval semideschis
- $(x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \le 5)$ interval semideschis
- $(x \in \mathbb{R} \mid x \le 2)$ minus infinit
- $(x \in \mathbb{R} \mid x \ge 2)$ plus infinit

## Descompunerea expresiilor în factori
- Prin factor comun
- $x^2+2x=x(x+2)$
- $3x^2-6x=3x(x-2)$
- $x^2-4=(x-2)(x+2)$
- $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
- $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$
- Prin grupare de termeni
- $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$
- $2x^3+2x^2+3x+3=(x+1)(2x^2+3)$
- $2x^3+4x^2-x-2=(x+2)(2x^2-1)$
- $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$
- $x^4-x^2-2=(x-1)(x+1)(x^2+1)$
- $x^4-5x^2+4=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

## Ecuaţia de gradul doi (forma generală: $ax^2+bx+c=0$)
- Rezolvare: calculul $\Delta = b^2-4ac$
- Dacă $\Delta \ge 0$, soluţiile sunt: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
- Dacă $\Delta < 0$, ecuaţia nu are soluţii

## Unităţi de măsură
| Lungime | Arie | Volum | Capacitate | Masă | Timp |
|---|---|---|---|---|---| 
| 1 mm=0,001 m | 1 $cm^2$=100 $mm^2$ | 1 $cm^3$=1000 $mm^3$ | 1 l=1 dm$^3$ | 1 g=0,001 kg | 1 minut=60 secunde |
| 1 cm=0,01 m | 1 $dm^2$=100 $cm^2$ | 1 $dm^3$=1000 $cm^3$ | 1 dal=10 l | 1 kg=1000 g | 1 oră=60 minute |
| 1 dm=0,1 m | 1 $m^2$=100 $dm^2$ | 1 $m^3$=1000 $dm^3$ | 3 dl=0,3 l | 4 kg=4000 g | 1 zi=24 ore |
| 30 cm=0,3 m | 7 $km^2$=700 ha | 5 $km^3$=5000 $hm^3$ | 1 hl=100 l | 7 kg=7000 g | 1 deceniu=10 ani |
| 2,5 dm=0,25 m | 1 ha=100 a=10000 $m^2$ | 0,05 $km^3$=50 $hm^3$ | 1 dal=10 l | 0,5 kg=500 g | 1 secol=100 ani |
| 2,5 cm=0,025 m | 1 a=100 $m^2$ | 1 $hm^3$=1000 $dam^3$ | 125 ml=0,125 l | 200 g=0,2 kg | 1 mileniu=1000 ani |
| 13,3 mm=0,0133 m | 0,02 ha=200 $m^2$ | 1 $dam^3$=10 $m^3$ | 0,07 kl=70 l | 6,25 g=6,25 g | 1 an=365 zile |
| 5,7 hm=0,57 km | 0,04 $km^2$=400 a | 200 $mm^3$=0,2 $cm^3$ | 3 cl=0,03 dl | 3000 g=3 kg | 1 %ore=30 minute |
|  |  | 0,25 $dam^3$=250 $m^3$ |  | 34 g=0,034 kg | 1 %ore=15 minute |

## Numere naturale
- Număr par (sau par): un număr divizibil cu 2. Ex: 4,5
- Numere consecutive: 2,3,4,6,8,10,...
- Număr impar: 1,3,5,7,9,11,...
- Patratul lui 7 este $7^2=49$; cubul lui 2 este $2^3=8$
- $10^x$ = x de 0
- $10^2=100$; $10^3=1000$; $10^4=10000$; $10^5=100000$; $10^6=1000000$
- Număr prim: număr natural mai mare ca 1, care are numai doi divizori naturali: 1 şi el însuşi. Ex: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...
- Număr perfect: este egal cu suma divizorilor săi naturali. Ex: 6=1+2+3
- Cub perfect: este un număr egal cu cubul unui număr natural. Ex: 1,8,27,64,...
- Patrat perfect: este egal cu pătratul unui număr natural. Ex: 0,1,4,9,16,25,...

## Teorema Împărţirii cu rest
- $D=d \cdot c+R$, $0 \le R < d$
- D=deîmpărţit; d=împărţitor; c=cât; R=rest

## Sume de puteri
- $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$
- $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- $\sum_{i=1}^n i^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

## Factor comun
- $3x-3y=3(x-y)$
- $7x^2-7x=7x(x-1)$
- $10x^2-5x=5x(2x-1)$
- $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$
- $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$
- $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

## Transformarea fracţiilor zecimale
- Finite: 0,7; 0,207; 100; 207; 3,45
- Perioadice simple: 0,777...= $\frac{7}{9}$; 0,1333...= $\frac{2}{15}$; 1,222...= $\frac{11}{9}$
- Perioadice mixte: 0,135135...= $\frac{135}{999}$= $\frac{5}{37}$

## Formule de calcul
| Formule | Exemplu |
|---|---| 
| $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ | $(3x+4y)(3x-4y)=9x^2-16y^2$ |
| $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ | $(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$ |
| $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ | $(3x-4y)^2=9x^2-24xy+16y^2$ |
| $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ | $(2a+3b+c)^2=4a^2+9b^2+c^2+12ab+4ac+6bc$ |
| $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ |  |
| $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ |  |
| $a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ |  |

## Formula radicalilor compuşi
- $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

## Aproximare
- Fie numărul 3,1416. Aproximăm cu:
- Aproximări prin lipsă: 3,1; Aproximări prin adaos:3,2
- Partea întreagă: [3,14]=3; [0,1]=0; [-0,1]=-1; [-3,14]=-4
- Partea fracţionară: {3,14}=0,14; {0,1}=0,1; {-0,1}=-0,1; {-3,14}=0,86
- Partea fracţionară a lui x este definită astfel: {x}=x-[x]

## Divizibilitate
- 2|18 (2 divide pe 18)
- 18:2=9
- 218 (2 nu divide pe 218)
- Divizorii lui 18 sunt: 1,2,3,6,9,18
- Multiplii lui 18 sunt: 18,36,54,72,...
- Număr prim: număr care are numai doi divizori: 1 şi el însuşi. Ex: 2,3,5,7,11,...
- Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.): 18 şi 9
- Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.): 18 şi 9
- Dacă $a=2 \cdot 3 \cdot 5$ şi $b=2^2 \cdot 3$, atunci $a \cdot b=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
- Relaţia dintre c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. a două numere naturale a şi b este:
- $c.m.m.d.c.(a,b) \cdot c.m.m.m.c.(a,b)=a \cdot b$
- Criterii de divizibilitate:
- 2: dacă ultima cifră este 0,2,4,6 sau 8 (ex: 756, 1934)
- 3: dacă suma cifrelor se divide cu 3 (ex: 291, 1002)
- 4: dacă numărul format din ultimele 2 cifre se divide cu 4 (ex: 800, 912)
- 5: dacă ultima cifră este 0 sau 5 (ex: 230, 495)
- 6: dacă numărul se divide cu 2 şi cu 3 (ex: 132, 258)
- 8: dacă numărul format din ultimele 3 cifre se divide cu 8 (ex: 9001)
- 9: dacă suma cifrelor se divide cu 9 (ex: 135, 495)
- 10: dacă se termină în 0 (ex: 230, 1990)
- 25: dacă se termină în 25 (ex: 75, 1000)
- 100: dacă se termină în 00 (ex: 200, 1900)
- Dacă a şi b sunt prime între ele, dacă a şi b se divid cu 25 atunci a=25 şi b=25

## Fracţii
- $\frac{a}{b}$: a - numărător; b - numitor
- echivalente: au numitorul = numărătorul. Ex: $\frac{2}{3}$= $\frac{2013}{3019,5}$= $\frac{4}{6}$= $\frac{14}{21}$
- supraunitare: numărătorul > numitorul. Ex: $\frac{7}{5}$= $\frac{14}{10}$= $\frac{21}{15}$
- subunitare: numărătorul < numitorul. Ex: $\frac{5}{7}$= $\frac{10}{14}$= $\frac{15}{21}$
- ireductibile: care nu se pot simplifica. Ex: $\frac{5}{7}$= $\frac{10}{14}$= $\frac{15}{21}$
- reductibile: care se pot simplifica. Ex: $\frac{2}{4}$= $\frac{1}{2}$
- echivalente: care se reduc succesiv. Ex: $\frac{12}{18}$= $\frac{6}{9}$= $\frac{2}{3}$= $\frac{8}{12}$

## Procent
- raportul $\frac{a}{b}$ număr 300: 200= $\frac{3}{2}$=1,5
- 2,345 se scrie 234,5 % 
- Proprietăţi: o serie de termeni proporţionali
- Proprietăţi: o serie de termeni proporţionali
- Proprietăţile numerelor direct proporţionale: $\frac{x_1}{x_2}$= $\frac{y_1}{y_2}$= $\frac{z_1}{z_2}$=k
- Proprietăţile fundamentale ale unei proporţii: $\frac{a}{b}$= $\frac{c}{d}$= $\frac{a+c}{b+d}$= $\frac{a-c}{b-d}$= $\frac{3a+2c}{3b+2d}$= $\frac{4a-2c}{4b-2d}$

## Numerele x, y, z sunt direct proporţionale cu 2,3,7 dacă $\frac{x}{2}$= $\frac{y}{3}$= $\frac{z}{7}$

## Reguli de trei simple
- Regula de trei direct simplă
- Ex: Dacă 3 kg mere costă 12 lei, cât costă 5 kg mere?
- $\frac{3}{12}$= $\frac{5}{x}$= $\frac{5 \cdot 12}{3}$=20 lei
- Regula de trei direct compusă
- Ex: În 5 pot pot umple un bazin în 20 min. Având 5 robinete, în cât timp pot umple bazinul?
- $\frac{5}{20}$= $\frac{5}{x}$= $\frac{5 \cdot 20}{5}$=20 min

## Probabilitatea unui eveniment
- $P(A)=\frac{nr.cazuri favorabile}{nr.cazuri posibile}$

## Medii
- Aritmetică: $m=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$
- Geometrică: $m=\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}$
- Armonică: $m=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}$
- Inegalitatea mediilor: $m_h \le m_g \le m_a$

## Medii aritmetice ponderate a numerelor 3,6,9
- având ponderile 3,6,9 este: $m=\frac{3 \cdot 3+6 \cdot 6+9 \cdot 9}{3+6+9}$=6

## Sisteme de ecuaţii
- Rezolvare prin metoda substituţiei
- Rezolvare prin metoda reducerii (se adună ecuaţiile)

## Sistem de axe
- Oxa absciselor
- Oy-axa ordonatelor
- Punctul O(0,3)
- Numărul 5 este abscisa, iar 3 este ordonata lui M
- Numărul 5 coordonate, punctul este M

## Funcţii
- Spunem că am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori în mulţimea B dacă facem o corespondenţă din A în B astfel încât fiecărui element din A îi corespunde un singur element în B
- A - domeniul de definiţie; B - codomeniul de valori
- F:A$\rightarrow$B (funcţia)
- Ex: f(x)=2x+3
- Reprezentarea grafică: Fie F: R$\rightarrow$R, f(x)=x+3
- Funcţie liniară: y=ax+b
- Calculul coordonatelor punctelor
- Intersecţia cu axa Oy: f(0)=3
- Intersecţia cu axa Ox: f(x)=0$\Rightarrow$x=-3

## Dacă punctul P(x,y) se află pe graficul funcţiei f, atunci f(x)=y
- Determinarea funcţiei de gradul 1 cunoscând două puncte ale graficului funcţiei
- Calculul coordonatelor punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor f şi g:
- $f(x)=2x+5$; $g(x)=x+9$; Se rezolvă sistemul de ecuaţii: $\begin{cases} y=2x+5\\ y=x+9 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $x=4$; $y=13$


Formule matematică

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț

Formule matematică

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț