Mulțimi și operații cu mulțimi

Mulțimile sunt colecții de obiecte sau numere. Pentru a lucra cu ele, trebuie să știi câteva notații:

• Când scriem $a \in A$ înseamnă că elementul $a$ aparține mulțimii $A$
• $A \subset B$ arată că toate elementele din $A$ se găsesc și în $B$
• $A \cup B$ reprezintă toate elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimi
• $A \cap B$ include doar elementele comune ambelor mulțimi

Mulțimile numerice importante sunt:

• $\mathbb{N}$ - numere naturale: {1, 2, 3...}
• $\mathbb{Z}$ - numere întregi: {...-2, -1, 0, 1, 2...}
• $\mathbb{Q}$ - numere raționale (fracții)
• $\mathbb{R}$ - numere reale (toate numerele)

💡 Bine de știut: Numărul de elemente dintr-o mulțime se numește cardinal!

Calcul numeric și algebric

Când lucrezi cu numere și expresii, ține minte aceste reguli:

• Opusul unui număr schimbă semnul: opusul lui 5 este -5
• Valoarea absolută (modulul) reprezintă distanța până la zero: $|3| = 3$ și $|-5| = 5$
• La puteri: $(-5)^2 = 25$, dar $-5^2 = -25$

Cu fracții:

• Fracțiile echivalente au aceeași valoare: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• Inversul unui număr este $\frac{1}{număr}$: inversul lui 3 este $\frac{1}{3}$

În algebra de bază:

• Termenii asemenea se adună: $5x + 2x = 7x$
• Când extragi factorul comun: $3x - 3y = 3(x - y)$

Ecuații și formule importante

Formule de calcul rapid:

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Pentru ecuația de gradul doi $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Calculăm $\Delta = b^2 - 4ac$
2. Dacă $\Delta \geq 0$, soluțiile sunt $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Divizibilitatea numerelor:

• Un număr este divizibil cu 2 dacă se termină cu 0, 2, 4, 6 sau 8
• Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor lui este divizibilă cu 3
• Un număr este divizibil cu 5 dacă se termină cu 0 sau 5

Funcții și reprezentări grafice

O funcție $f: A \to B$ asociază fiecărui element din mulțimea $A$ un singur element din mulțimea $B$.

Când lucrezi cu grafice:

• $D_f$ este domeniul de definiție (valorile pentru care funcția există)
• Dacă punctul P(x,y) se află pe graficul funcției, atunci $f(x) = y$
• Ecuația dreptei care trece prin două puncte: $\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca: $P = \frac{\text{număr cazuri favorabile}}{\text{număr cazuri posibile}}$