Formule de integrare prin schimbare de variabilă

Integrarea prin schimbare de variabilă funcționează prin identificarea unei funcții u(x) și a derivatei sale u'(x) în integrala pe care dorim să o calculăm. Cea mai simplă formulă este $\int u'(x)dx = u(x) + C$, care reprezintă baza pentru restul formulelor.

Pentru puteri ale funcției u(x), avem formula generală $\int u^n(x) \cdot u'(x)dx = \frac{u^{n+1}(x)}{n+1} + C$. Cazuri particulare includ $\int u(x) \cdot u'(x)dx = \frac{u^2(x)}{2} + C$ și $\int u^2(x) \cdot u'(x)dx = \frac{u^3(x)}{3} + C$.

Pentru funcții logaritmice și exponențiale, formulele importante sunt $\int \frac{u'(x)}{u(x)}dx = ln|u(x)| + C$ și $\int e^{u(x)}u'(x)dx = e^{u(x)} + C$. Similar, pentru baze arbitrare, $\int a^{u(x)}u'(x)dx = \frac{a^{u(x)}}{ln a} + C$.

Reține! Funcțiile trigonometrice au formule specifice, precum $\int sin u(x) \cdot u'(x)dx = -cos u(x) + C$ și $\int cos u(x) \cdot u'(x)dx = sin u(x) + C$. Aceste formule sunt deosebit de utile la subiecte de bacalaureat.

Pentru expresii cu radicali, avem formule precum $\int \frac{u'(x)}{\sqrt{a^2 - u^2(x)}}dx = arcsin\frac{u(x)}{a} + C$ și $\int \frac{u'(x)}{\sqrt{u^2(x) + a^2}}dx = ln(u(x) + \sqrt{u^2(x) + a^2}) + C$. Aceste formule sunt esențiale pentru rezolvarea integralelor ce conțin expresii pătratice în radical.