Calcule cu numere reale (continuare)

Înțelegerea proprietăților operațiilor cu numere reale îți permite să simplifici expresii complexe. Mulți dintre noi avem tendința să complicăm calculele, dar soluția elegantă vine adesea din observarea tiparelor.

Exercițiile 15-20 te ajută să practici operații cu fracții și proprietățile lor. De exemplu, la exercițiul 20: $\frac{1}{2}:0,5-1 = \frac{1}{2} \cdot 2 - 1 = 1 - 1 = 0$. Observă cum simplificarea pas cu pas conduce la rezultat.

Pentru media geometrică (exercițiul 21), folosești formula $MG = \sqrt{a \cdot b}$. Astfel, pentru $a = 16$ și $b = 9$, calculezi $\sqrt{16 \cdot 9} = \sqrt{144} = 12$.

La exercițiul 23, calculul mediei aritmetice se face folosind formula $MA = \frac{a+b}{2}$. Pentru $a = 2(5-\sqrt{5})$ și $b = 2\sqrt{5}$, trebuie să calculezi $\frac{2(5-\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}}{2}$.

💡 Exercițiile de la 25 în jos implică calcule cu radicali și fracții. Încearcă întotdeauna să aduci expresiile la o formă mai simplă înainte de a face operațiile finale.

Abordarea sistematică a acestor exerciții îți va dezvolta intuiția matematică și îți va permite să recunoști mai ușor tipurile de probleme în viitor.

Calcule cu numere reale

Când lucrezi cu numere reale, trebuie să stăpânești operațiile de bază și proprietățile lor. Exercițiile din această temă te ajută să exersezi ordonarea numerelor reale, simplificarea expresiilor radicale și rezolvarea de ecuații.

Pentru a ordona numere, transformă-le în aceeași formă (de exemplu, toate ca fracții sau toate ca radicali). Astfel, când compari $(\frac{1}{4})^{-2}$, 64 și $\sqrt{8}$, calculezi mai întâi valoarea fiecăruia.

La simplificarea expresiilor cu radicali, folosește proprietățile radicalilor: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ și $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. De exemplu, la exercițiul 2, putem scrie $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.

💡 Un truc util: Atunci când întâlnești expresii de forma $a(\sqrt{b} \pm c) \pm a\sqrt{b}$, regrupează termenii pentru a obține expresii mai simple, cum ar fi $a \cdot c$.

Exercițiile de la 9 la 13 te ajută să practici acest tip de calcule, arătând că $3(2+\sqrt{2})-3\sqrt{2}=6$ sau $3(4-\sqrt{3})+3\sqrt{3}=12$. Observă tiparul în care termenii radicali se simplifică, lăsând doar termenii numerici.

Funcții

Funcțiile reprezintă relații între două mulțimi, unde fiecărui element din prima mulțime i se asociază un singur element din a doua mulțime. În această secțiune, vei lucra cu funcții liniare de forma f(x) = ax + b.

La exercițiul 1, când trebuie să determini f(-4) · f(-3) · ... · f(3) · f(4) pentru funcția f(x) = x - 3, calculezi valoarea funcției în fiecare punct și apoi le înmulțești.

Pentru a rezolva ecuații cu funcții (exercițiul 2), înlocuiești funcțiile cu expresiile lor și rezolvi ecuația obținută: 2f(x) + 3g(x) = -5 devine 2$x+3$ + 3$2x-1$ = -5.

Punctele de intersecție ale graficului unei funcții cu axele de coordonate sunt importante. Pentru a găsi intersecția cu Ox, faci f(x) = 0, iar pentru intersecția cu Oy, calculezi f(0).

💡 O metodă eficientă pentru calculul sumelor de tipul f(1) + f(2) + ... + f(n) pentru funcții liniare este să identifici o formulă generală în loc să calculezi fiecare termen separat.

La exercițiile 19-20, pentru a determina valoarea maximă/minimă a unei funcții liniare pe un interval, evaluezi funcția în capetele intervalului și alegi valoarea corespunzătoare.

Pentru a determina funcția când știm coordonatele a două puncte de pe grafic (exercițiul 22), formezi un sistem de ecuații și găsești valorile a și b din f(x) = ax + b.

Funcții (continuare)

Înțelegerea proprietăților funcțiilor te ajută să rezolvi eficient probleme variate. Un aspect important este capacitatea de a interpreta geometric semnificația diferitelor cerințe.

La exercițiile 23-24, când trebuie să determini valorile lui x pentru care o funcție respectă anumite condiții, transformi problema într-o inecuație și o rezolvi. De exemplu, pentru f(x) + f(1) ≤ 1, înlocuiești f(x) = 3x - 4 și obții 3x - 4 + (3 · 1 - 4) ≤ 1.

Aria unui triunghi format de graficul unei funcții liniare cu axele de coordonate (exercițiul 24) se poate calcula folosind coordonatele punctelor de intersecție. Dacă funcția este f(x) = 3x - 5, găsești intersecțiile cu axele și apoi aplici formula ariei.

Exercițiile 30-33 te ajută să practici determinarea punctelor de intersecție între graficele a două funcții. Pentru a găsi punctul de intersecție dintre f(x) = 2x - 1 și g(x) = x + 3, rezolvi ecuația f(x) = g(x).

💡 Când un punct A(a,b) aparține graficului unei funcții f, asta înseamnă că f(a) = b. Poți folosi această proprietate pentru a determina parametri necunoscuți.

La exercițiile 35-43, trebuie să calculezi diferite valori ale funcțiilor sau să determini parametri când sunt date anumite condiții. Fiecare dintre aceste exerciții te ajută să înțelegi mai bine comportamentul funcțiilor.

Când cauți punctele de intersecție cu axele de coordonate pentru o funcție pătratică (exercițiul 48), rezolvarea este diferită față de funcțiile liniare. Pentru intersecția cu Oy, calculezi f(0), iar pentru intersecția cu Ox, rezolvi ecuația de gradul 2: 2x² + x + 2015 = 0.

Funcția de gradul al II-lea (continuare)

Aprofundarea studiului funcției de gradul al II-lea te ajută să rezolvi probleme complexe și să înțelegi mai bine comportamentul parabolelor în diverse situații.

Pentru a calcula distanța dintre punctele de intersecție ale graficului unei funcții cu axa Ox $exercițiile 21-22$, găsești mai întâi soluțiile ecuației f(x) = 0, apoi aplici formula distanței între două puncte.

La exercițiul 23, pentru a determina coordonatele punctului de intersecție dintre o dreaptă și o parabolă, rezolvi sistemul format din ecuațiile celor două curbe. Pentru y = -4 și f(x) = x² - 6x + 5, rezolvi x² - 6x + 5 = -4.

Demonstrația că o ecuație nu are soluții reale (exercițiul 24) se face arătând că discriminantul este negativ. Pentru x² - 2x + 1 + a² = 0, calculezi Δ = 4 - 4$1 + a²$ = -4a².

💡 Vârful parabolei asociate funcției f(x) = ax² + bx + c se află la x = -b/(2a). Valoarea minimă (pentru a > 0) sau maximă (pentru a < 0) a funcției se atinge în vârf.

Exercițiile 26-29 implică determinarea parametrilor când sunt date relații suplimentare între soluțiile ecuațiilor. Aceste probleme îmbină cunoștințele despre ecuațiile de gradul al II-lea cu diverse tehnici algebrice.

La exercițiile 34-39, trebuie să demonstrezi diverse proprietăți ale funcțiilor de gradul al II-lea. O abordare comună este să exprimi funcția într-o formă convenabilă, cum ar fi f(x) = a$x - x₀$² + y₀, unde (x₀, y₀) sunt coordonatele vârfului.

Funcția de gradul al II-lea

Funcția de gradul al II-lea, de forma f(x) = ax² + bx + c, are ca grafic o parabolă. Înțelegerea proprietăților acestei funcții este esențială pentru rezolvarea multor probleme matematice.

Pentru a calcula expresii cu soluțiile unei ecuații de gradul al II-lea (exercițiile 1 și 5), folosești relațiile Vieta. Dacă x₁ și x₂ sunt soluțiile ecuației ax² + bx + c = 0, atunci x₁ + x₂ = -b/a și x₁ · x₂ = c/a.

La exercițiul 3, pentru a determina valoarea lui m când funcția f(x) = mx² - 8x - 3 are valoarea maximă 5, trebuie să știi că pentru o parabolă cu a < 0, valoarea maximă se atinge în vârful parabolei.

Intersecția graficelor a două funcții (exercițiul 4) se obține rezolvând sistemul f(x) = g(x). Pentru f(x) = x² - x + 1 și g(x) = x + 4, rezolvarea ecuației x² - x + 1 = x + 4 îți dă punctele de intersecție.

💡 Pentru a verifica dacă o ecuație de gradul al II-lea are soluții reale, calculezi discriminantul Δ = b² - 4ac. Dacă Δ ≥ 0, ecuația are soluții reale.

Exercițiile 11-14 implică determinarea condițiilor pentru ca o funcție de gradul al II-lea să aibă anumite proprietăți. De exemplu, pentru ca parabola asociată funcției f(x) = x² - mx + m - 1 să fie tangentă axei Ox, trebuie ca discriminantul să fie zero.

La exercițiile 15-19, se cere să determini ecuații de gradul al II-lea când știi relații între soluții. Folosești relațiile Vieta în sens invers: dacă x₁ + x₂ = s și x₁ · x₂ = p, atunci ecuația este x² - sx + p = 0.

Funcția de gradul al II-lea (avansată)

Problemele avansate cu funcții de gradul al II-lea combină mai multe concepte și necesită o analiză mai profundă. Aceste exerciții îți testează capacitatea de a aplica creativ cunoștințele.

La exercițiile 41-45, trebuie să determini valori ale parametrilor când sunt date condiții specifice. De exemplu, la exercițiul 41, pentru ecuația x² - x + m = 0, trebuie să găsești m astfel încât soluțiile x₁ și x₂ să satisfacă relația $\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} = \frac{3}{4}$.

Pentru a determina când un punct aparține graficului unei funcții $exercițiile 42-43$, înlocuiești coordonatele punctului în ecuația funcției. Dacă A$m, -1$ aparține graficului f(x) = x² - 3x + 1, atunci -1 = m² - 3m + 1.

Determinarea unei funcții de gradul al II-lea când știi trei puncte de pe grafic (exercițiul 44) se face substituind coordonatele în f(x) = ax² + bx + c și rezolvând sistemul obținut.

💡 Inecuațiile cu funcții de gradul al II-lea se pot rezolva studiind semnul unei expresii pătratice. Pentru ax² + bx + c > 0 (a > 0), intervalele de soluții sunt determinate de rădăcinile ecuației ax² + bx + c = 0.

Exercițiile 46-52 se referă la diverse condiții pentru ca o funcție de gradul al II-lea să aibă anumite proprietăți. De exemplu, pentru ca x² - $m - 3$x + m - 3 > 0 pentru orice x real, trebuie ca discriminantul să fie negativ.

La exercițiile 53-58, aplici cunoștințele despre funcții de gradul al II-lea în diverse contexte, inclusiv inecuații, sisteme și probleme cu parametri. Aceste exerciții îți dezvoltă gândirea analitică și capacitatea de a aborda probleme din multiple perspective.