Evaluare Națională Matematică Clasa 8: Subiectul I Rezolvat

Operații cu numere și divizibilitate

Calculele simple cu numere întregi sunt baza matematicii. De exemplu, 15+28 dă rezultatul 43, ceea ce verificăm prin adunare directă.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun (CMMDC) al numerelor, descompunem în factori primi. La numerele 36 și 48, descompunem: 36 = 2² × 3² și 48 = 2⁴ × 3. CMMDC-ul este produsul factorilor comuni cu cea mai mică putere: 2² × 3 = 12.

Media aritmetică a mai multor numere se calculează adunând toate numerele și împărțind la numărul lor. Pentru 7, 12 și 20, media este $7+12+20$/3 = 39/3 = 13.

💡 Perimetrul unui dreptunghi se calculează cu formula P = 2 × $L + l$. Dacă știi lungimea și lățimea, dublezi suma lor!

Când calculăm perimetrul unui dreptunghi cu lungimea 10 cm și lățimea 4 cm, aplicăm formula: P = 2 × $10 + 4$ = 2 × 14 = 28 cm.

Medii, expresii și divizibilitate

Media aritmetică este importantă în multe situații. Pentru notele 6, 9, 8 și 7, media se calculează: $6+9+8+7$/4 = 30/4 = 7,5.

La calculul expresiilor numerice, respectăm ordinea operațiilor. Pentru 2³ + 3², calculăm întâi puterile: 2³ = 8 și 3² = 9, apoi adunăm: 8 + 9 = 17.

Când lucrăm cu unghiuri complementare, știm că suma lor este 90°. Dacă un unghi are 35°, complementarul său va fi 90° - 35° = 55°.

💡 Un număr este divizibil cu 6 doar dacă este divizibil atât cu 2, cât și cu 3!

Pentru a verifica divizibilitatea cu 6, verificăm dacă numărul este divizibil atât cu 2 (se termină în cifră pară), cât și cu 3 (suma cifrelor este divizibilă cu 3). Deci un număr divizibil cu 6 este divizibil cu 2 și 3.

Unghiuri, viteză și multipli comuni

În triunghiurile dreptunghice, suma unghiurilor ascuțite este 90°. Dacă unul dintre unghiurile ascuțite este 35°, celălalt va fi 90° - 35° = 55°.

Problemele de viteză și timp folosesc formula t = d/v. Pentru o mașină care merge cu 60 km/h și trebuie să parcurgă 30 km, timpul va fi: t = 30/60 = 0,5 ore = 30 minute.

La calculul expresiilor, respectăm ordinea operațiilor: mai întâi împărțire, apoi adunare. Pentru 36:4+5, calculăm: 36:4 = 9, apoi 9+5 = 14.

💡 Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (CMMMC), descompune numerele în factori primi și înmulțește fiecare factor la cea mai mare putere!

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun (CMMMC) al numerelor 6 și 8, descompunem: 6 = 2 × 3 și 8 = 2³. CMMMC-ul este produsul factorilor la cea mai mare putere: 2³ × 3 = 24.

Ecuații simple și geometrie

Ecuațiile simple se rezolvă izolând necunoscuta. Pentru x - 7 = 15, adunăm 7 la ambele părți: x = 15 + 7 = 22.

În geometria cercului, raza este jumătate din diametru. Dacă diametrul este 10 cm, atunci raza este: r = d/2 = 10/2 = 5 cm.

Aria dreptunghiului se calculează înmulțind lungimea cu lățimea. Pentru un dreptunghi cu lungimea 12 cm și lățimea 5 cm: A = L × l = 12 × 5 = 60 cm².

💡 Când calculezi procente dintr-un număr, transformă procentul în fracție și înmulțește!

La problemele cu procente, transformăm procentul în fracție și înmulțim. Dacă într-un autobuz cu 40 de locuri sunt ocupate 75% dintre ele, numărul de locuri ocupate este: 75% × 40 = $75/100$ × 40 = 30 locuri.

Ecuații și numere prime

Ecuațiile cu o necunoscută se rezolvă pas cu pas. Pentru 3x + 4 = 19: mai întâi scădem 4 din ambele părți, obținând 3x = 15, apoi împărțim ambele părți la 3, găsind x = 5.

Un număr prim are doar doi divizori: 1 și el însuși. Din numerele 21, 39, 47 și 51, doar 47 este prim, deoarece celelalte se împart la alți divizori $21 = 3 × 7, 39 = 3 × 13, 51 = 3 × 17$.

💡 Media aritmetică îți permite să găsești un termen necunoscut dacă știi media și restul termenilor!

La probleme cu media aritmetică, putem găsi un termen necunoscut folosind formula. Dacă media a șapte temperaturi este 12°C și șase dintre ele sunt 10°C, 14°C, 11°C, 15°C, 9°C și 13°C, pentru a afla a șaptea temperatură x, scriem: $10+14+11+15+9+13+x$/7 = 12. De aici, 72 + x = 84, deci x = 12°C.

Probleme diverse de matematică

Când lucrezi cu rapoarte și proporții, poți afla ușor câte elemente dintr-un grup au o anumită proprietate. Dacă 1 din 10 bilete de tombolă este câștigător, atunci din 80 de bilete vor fi câștigătoare: 80 ÷ 10 = 8 bilete.

La expresii numerice trebuie să respecți ordinea operațiilor. Pentru 10 - 2 · $3⁰ + 1$, calculezi mai întâi paranteza: 3⁰ = 1, deci 3⁰ + 1 = 2. Apoi: 10 - 2 · 2 = 10 - 4 = 6.

💡 La rezolvarea ecuațiilor cu fracții, înmulțește ambele părți cu numitorul comun pentru a scăpa de fracții!

Ecuațiile fracționare se rezolvă aducând la același numitor. Pentru $x-3$/8 = 9/4, înmulțim ambele părți cu 8, apoi cu 4: 4$x-3$ = 8·9, adică 4x-12 = 72. De aici: 4x = 84, deci x = 21.