Structura examenului

Evaluarea Națională la Matematică pentru anul școlar 2024-2025 este organizată într-un format clar și bine structurat. Vei avea la dispoziție 2 ore pentru rezolvarea tuturor subiectelor.

Testul este împărțit în trei subiecte principale, toate fiind obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu, iar punctajul maxim este de 100 de puncte.

Pe prima pagină găsești spațiul pentru completarea datelor tale personale și tabelele pentru evaluatori, care vor completa notele pentru fiecare subiect în parte.

Sfat util: Asigură-te că ai suficient timp pentru toate subiectele. Începe cu exercițiile care ți se par mai ușoare pentru a acumula puncte rapid!

Subiectul I - Exerciții cu alegere multiplă

Primul subiect conține 6 exerciții, fiecare valorând 5 puncte, cu un total de 30 de puncte. Pentru fiecare întrebare trebuie să încercuiești răspunsul corect din cele patru variante oferite.

Exercițiile verifică cunoștințele tale despre fracții, operații cu puteri, divizori, intervale, expresii algebrice și medii ale numerelor.

La exercițiul 1 trebuie să calculezi expresia $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} : (\frac{1}{5})^{-1}$, atenție la ordinea operațiilor și la inversul numărului! Exercițiul 2 se referă la suma tuturor divizorilor numărului 6, iar exercițiul 3 necesită determinarea intersecției a două intervale.

Important: Chiar dacă aceste exerciții par simple, fii atent la detalii și la regulile de calcul. Verifică-ți rezultatele înainte de a încercui răspunsul!

Continuarea Subiectului I și începutul Subiectului II

La exercițiul 4 trebuie să determini forma simplificată a expresiei $(2x+3)^2-(2x-3)^2$, folosind formula pentru diferența pătratelor.

Exercițiul 5 te provocă să calculezi diferența dintre media aritmetică și media geometrică a două numere iraționale, iar exercițiul 6 îți cere să stabilești dacă o afirmație despre compararea numerelor este adevărată sau falsă.

Subiectul II conține tot 6 exerciții de câte 5 puncte (30 puncte total), dar de această dată cu probleme de geometrie. Aici vei întâlni exerciții despre:

• Puncte coliniare și rapoarte de segmente
• Unghiuri formate de drepte paralele
• Cerc și tangentă la cerc

Pentru rezolvare vei folosi teoreme de geometrie precum cea a unghiurilor formate de două drepte paralele tăiate de o secantă și proprietăți ale tangentei la cerc.

Reține: În geometrie, o schiță corectă te poate ajuta enorm să vizualizezi problema și să identifici soluția corectă!

Finalizarea Subiectului II și începerea Subiectului III

Continuând cu Subiectul II, exercițiile 4 și 5 abordează probleme despre triunghiuri:

• Măsura unui unghi într-un triunghi isoscel
• Raportul ariilor în triunghiuri echilaterale cu înălțime

Exercițiul 6 te duce în spațiul tridimensional, cerându-ți să determini măsura unghiului dintre două drepte într-un cub.

Subiectul III începe cu o problemă practică despre împărțirea nucilor. Aici trebuie să folosești teorema împărțirii cu rest și cel mai mic multiplu comun. Problema are două subpuncte:

• Verificarea dacă Maria poate avea 29 de nuci
• Determinarea numărului minim de nuci posibil

La acest subiect trebuie să scrii rezolvarea completă, nu doar răspunsul final! Fiecare etapă a raționamentului tău contează.

Atenție: La Subiectul III, organizarea clară a rezolvării și justificarea pașilor sunt la fel de importante ca răspunsul corect!

Continuarea Subiectului III

Exercițiul 2 din Subiectul III testează abilitatea ta de a lucra cu radicali și inegalități. Problema are două cerințe:

• Să demonstrezi că expresia $a = \frac{6}{\sqrt{3}} + (\frac{1}{\sqrt{12}} + \frac{1}{\sqrt{27}} + \frac{1}{\sqrt{108}}) \cdot 12$ este egală cu $6\sqrt{3}$
• Să găsești valorile reale pentru x care satisfac inegalitatea $(x+1)^2 \leq a\cdot b$

Pentru prima parte, va trebui să simplifici radicali și să faci calcule cu fracții. La a doua cerință, după ce afli valoarea produsului $a \cdot b$, vei rezolva o inecuație de gradul al doilea.

Aceste exerciții verifică cunoștințele tale despre proprietățile radicalilor, simplificarea expresiilor și rezolvarea inecuațiilor.

Sfat: Când lucrezi cu radicali, încearcă să aduci totul la aceeași formă, scoțând factori de sub radical când este posibil!

Continuarea Subiectului III

La exercițiul 3 din Subiectul III trebuie să lucrezi cu o expresie algebrică complexă: $E(x)=(3x+2)^2-(x+2)(x-2)-7(x-3)(x+2)-18x$

Cerințele sunt:

• Să demonstrezi că $(3x+2)^2-(x+2)(x-2)=8x^2+12x+8$
• Să arăți că expresia $E(n)$ este divizibilă cu 2 pentru orice număr întreg n

Acest exercițiu testează abilitățile tale de calcul algebric, dezvoltarea produselor notabile și analiză de divizibilitate.

Exercițiul 4 te aduce în domeniul geometriei plane, cu un dreptunghi și triunghiuri echilaterale construite pe laturile sale. Trebuie să demonstrezi congruența a două segmente și să calculezi aria unui triunghi format.

Important: La problemele de geometrie, folosește proprietățile triunghiurilor echilaterale și teorema lui Pitagora pentru a determina lungimile necunoscute!

Continuarea Subiectului III

Exercițiul 5 abordează geometria cercului și a punctelor situate pe acesta. Aici lucrezi cu:

• Puncte diametral opuse
• Simetria față de o dreaptă
• Măsura unghiului la centru

Trebuie să demonstrezi că lungimea unei coarde este $6\sqrt{3}$ cm și să calculezi aria unui patrulater.

Pentru rezolvare, vei folosi proprietățile cercului, teorema unghiului înscris și formule pentru calculul ariei.

Acest exercițiu testează înțelegerea profundă a geometriei cercului și capacitatea ta de a folosi relațiile dintre unghiuri și lungimi în cerc.

Sfat practic: Desenează cu atenție figura și marchează toate datele cunoscute. Identifică triunghiurile care se formează în cerc pentru a calcula mai ușor aria patrulaterului.

Finalizarea Subiectului III

Ultimul exercițiu din Subiectul III (exercițiul 6) te poartă în geometria în spațiu cu un tetraedru regulat și puncte situate pe muchiile acestuia.

Cerințele sunt:

• Să demonstrezi că o dreaptă este paralelă cu un plan
• Să calculezi măsura unghiului dintre două drepte în spațiu

Acest exercițiu complex combină cunoștințele tale despre paralelism în spațiu, vectori și produse scalare.

Pentru a rezolva prima parte, vei analiza poziția relativă a dreptei și planului, iar pentru a doua parte, vei calcula cosinus-ul unghiului dintre cele două drepte.

Nu uita: În geometria în spațiu este esențial să identifici corect poziția relativă a elementelor și să folosești formulele pentru calculul unghiurilor dintre drepte!