Evaluarea Națională Matematică 2023-2024: Resurse Oficiale

Pagina de prezentare a examenului

Prima pagină conține informații administrative despre Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a. Aici vei găsi spațiile pentru completarea numelui tău, a școlii de proveniență și a centrului de examen.

Examenul este structurat pe secțiuni, iar lucrarea va fi evaluată de mai mulți profesori pentru a asigura o notare corectă și obiectivă.

💡 Sfat important: Asigură-te că ai completat corect toate informațiile personale pe prima pagină a examenului înainte de a începe rezolvarea subiectelor!

Examenul durează două ore și evaluează cunoștințele tale acumulate în anii de gimnaziu la matematică.

Structura examenului și Subiectul I

Examenul durează două ore, toate subiectele sunt obligatorii, și primești 10 puncte din oficiu.

Subiectul I conține 6 întrebări cu alegere multiplă, fiecare valorând 5 puncte:

1. Rezultatul calculului 14-14:$4-2$ este 7, deoarece aplicăm ordinea operațiilor: mai întâi împărțirea 14:2=7, apoi scăderea 14-7=7.

2. La problema cu fracții, trebuie să găsești raportul $\frac{a\cdot b}{a\cdot b+1}$ când $\frac{6}{a}=\frac{b}{2}$. Din egalitatea fracțiilor rezultă $a \cdot b = 12$, iar raportul devine $\frac{12}{13}$.

3. Divizorii naturali ai lui 15 sunt numerele care împart exact pe 15: {1, 3, 5, 15}.

4. La ecuația $2x^2=8$, obținem $x^2=4$, deci $x=\pm 2$ (ambele valori sunt soluții).

🔍 Atenție: La întrebările cu alegere multiplă, verifică fiecare variantă de răspuns pentru a fi sigur că o alegi pe cea corectă!

5. și 6. Implică ordonarea numerelor raționale și un exercițiu de verificare a unei afirmații despre vârste.

Continuarea Subiectului I și Subiectul al II-lea

Ultimele două probleme din Subiectul I:

5. Trebuie să ordonezi numerele $a=\frac{2}{3}$, $b=0,5$, $c=0,1(3)$ și $d=\frac{1}{4}$ de la cel mai mic la cel mai mare. Când transformi toate valorile în zecimale: $a=0,66...$, $b=0,5$, $c=0,133...$, $d=0,25$, obții ordinea corectă: $c<d<b<a$.

6. Afirmația "Peste 3 ani, Ioana şi Maria vor avea împreună 31 de ani" este adevărată, pentru că dacă acum au 28 de ani împreună, peste 3 ani vor avea 28+3+3=34 de ani.

Subiectul al II-lea conține probleme de geometrie:

1. Când AB, BC și CD sunt numere naturale consecutive, cu BC=7cm, rezultă că AB=6cm și CD=8cm. Punctul M este mijlocul lui AB, deci AM=3cm, iar MD=AB+BC+CD-AM=6+7+8-3=18cm.

2. În problema cu unghiuri și drepte paralele, folosim proprietățile unghiurilor formate când o dreaptă taie două paralele pentru a determina măsura unghiului DCB.

📐 Reține: În geometrie, desenul corect te ajută enorm să vizualizezi relațiile dintre unghiuri și să aplici teoremele potrivite!

Subiectul al III-lea (partea 1)

La Subiectul al III-lea trebuie să scrii rezolvările complete pentru 5 probleme mai complexe:

1. Problema cu biletele de concert:

   • Avem 225 de bilete în total pentru adulți și copii
   • Un bilet pentru adulți costă 25 lei, iar pentru copii 20 lei
   • Suma totală obținută este 5150 lei

   a) Pentru a verifica dacă s-au vândut 205 bilete pentru adulți:

   • Ar însemna că pentru copii s-au vândut 225-205=20 bilete
   • Suma ar fi 205×25+20×20=5125+400=5525 lei (nu este 5150 lei)
   • Deci afirmația nu este adevărată

   b) Pentru a afla numărul real de bilete pentru copii, notăm:

   • x = numărul de bilete pentru adulți
   • 225-x = numărul de bilete pentru copii
   • Ecuația: 25x+20$225-x$=5150
   • Rezolvând, obținem numărul corect de bilete pentru copii

2. La problema cu expresia $E(x)=\left(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}\right):\frac{x^{2}+4}{x^{2}+4x+4}$, trebuie:

   a) Să demonstrezi egalitatea $\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{x^{2}+4}{(x-2)(x+2)}$ prin aducerea la același numitor

💪 Poți face asta! Problemele de la Subiectul III par dificile, dar dacă le împarți în pași mici și aplici metodele învățate, vei vedea că sunt la îndemâna ta!

Subiectul al III-lea (partea 2)

Continuarea problemei 2: b) Pentru a determina numerele naturale n≠2 pentru care E$n$-1 este număr natural, trebuie să calculezi valoarea expresiei pentru diferite valori ale lui n și să verifici când rezultatul minus 1 este un număr natural.

3. Problema cu funcția f$x$=x+2:

   a) Pentru a arăta că 2·f(1)=f(4):

   • f(1)=1+2=3
   • 2·f(1)=2·3=6
   • f(4)=4+2=6
   • Deci 2·f(1)=f(4)=6

   b) Pentru distanța de la M(4,0) la dreapta AB:

   • Graficul funcției este o dreaptă
   • Intersecția cu Ox (punctul A): rezolvi f$x$=0, obții x=-2, deci A$-2,0$
   • Intersecția cu Oy (punctul B): rezolvi x=0, obții f(0)=2, deci B(0,2)
   • Apoi calculezi distanța de la M la dreapta AB folosind formula pentru distanța de la un punct la o dreaptă

📊 Vizualizează graficul! Când lucrezi cu funcții, desenarea graficului te ajută să înțelegi mai bine problema și să identifici mai ușor soluția.

Subiectul al III-lea (partea 3)

4. Problema cu pătratul ABCD:

   a) Pentru a arăta că măsura unghiului PNQ este 90°:

   • Analizezi relațiile între bisectoarele unghiurilor ANM și MNB
   • Ținând cont că ABCD este pătrat, unghiurile sale sunt de 90°
   • Folosești proprietățile bisectoarelor și ale dreptelor paralele
   • Demonstrezi că PNQ=90°

   b) Pentru a demonstra că punctele P, O și Q sunt coliniare:

   • O este punctul de intersecție a diagonalelor AC și BD
   • Folosești proprietățile bisectoarelor și ale diagonalelor pătratului
   • Demonstrezi că P, O și Q aparțin aceleiași drepte

Această problemă testează înțelegerea proprietăților pătratului și capacitatea de a folosi teoreme din geometria plană pentru a demonstra afirmații despre unghiuri și coliniaritate.

🧩 Strategia de rezolvare: În problemele de geometrie, începe prin a identifica proprietățile cunoscute ale figurii (pătrat: laturi egale, unghiuri de 90°, diagonale congruente care se intersectează în mijloc), apoi construiește pas cu pas demonstrația.

Subiectul al III-lea (partea 4)

6. Problema cu cubul ABCDA'B'C'D':

   a) Pentru a calcula volumul cubului:

   • Este dat AB=8cm (lungimea muchiei cubului)
   • Volumul unui cub este V=a³, unde a este lungimea muchiei
   • V=8³=512 cm³

   b) Pentru a determina distanța de la punctul O la planul (CMD):

   • O este punctul de intersecție a diagonalelor AC și BD din baza cubului
   • M este mijlocul segmentului A'B' din fața superioară
   • Trebuie să calculezi distanța perpendiculară de la O la planul determinat de punctele C, M și D
   • Folosești formulele pentru distanța de la un punct la un plan

Această problemă testează cunoștințele despre geometria în spațiu, proprietățile cubului și capacitatea de a calcula distanțe în spațiu.

🔍 Perspectivă 3D: Când lucrezi cu figuri în spațiu, încearcă să vizualizezi clar poziția punctelor și să folosești un sistem de coordonate. În cub, poți plasa originea într-un vârf și să lucrezi cu coordonatele punctelor pentru a simplifica calculele.