Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Română

Teoreme despre vecinatati, puncte de acumulare si limite de siruri

https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/0194b7d6-7ba4-7999-9279-ed660e9524fa_COMPRESSED.pdf

0194b7d6-7ba4-7999-9279-ed660e9524fa

Notiță

Anais 🩷

Romania

Liceu

Matematică

Teoreme introducere in analiza matematica

# Teoreme analiza

* Axioma lui Cantor
- Orice multime marginita superior admite un cel mai mic majorant numit marginea superioara a multimii.

* Prop. de separatie a lui Hausdorf
- Daca $a \neq b$, $a, b \in \mathbb{R}$, atunci $\exists$ o vecinatate $V \in U(a)$ si $V_2 \in U(b)$ a.i. $V_1 \cap V_2 = \phi$.

* Teorema de caracterizare a limitei unui sir
1) $\lim_{n \to \infty} x_n = l \in \mathbb{R} \iff \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ a.i. $|x_n - l| < \epsilon$ pt $\forall n > N$
2) $l = +\infty \implies \lim_{n \to \infty} x_n = +\infty \iff \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ a.i. $x_n > \epsilon$ pt. $\forall n > N$
3) $l = -\infty \implies \lim_{n \to \infty} x_n = -\infty \iff \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ a.i. $x_n < -\epsilon$ pt. $\forall n > N$

* Teorema
- Daca exista limita unui sir $x_n$, aceasta este unica.

* Teorema 1
- Daca sirul $x_n$ este convergent, atunci el este marginit.
- Daca un sir este marginit, atunci nu este convergent.

* Teorema 2
- $x_n \to l \in \mathbb{R} \iff (x_n - l) \to 0$

* Teorema 3
- $x_n \to 0 \iff |x_n| \to 0$

* Teorema 4
- $x_n \to l \in \mathbb{R} \iff |x_n - l| \to 0$

* Teorema 5
- Daca un sir $x_n$ este cresc. si nemarginit sup atunci $x_n \to \infty$
- Daca un sir $x_n$ este descresc si nemarginit inf, atunci $x_n \to -\infty$

* Teorema 6
- Daca sirul $x_n$ are limita infinita, atunci $\frac{1}{x_n} \to 0$ # Teorema 7 (operații cu șiruri convergente)

- $a_m \to a$
$b_m \to b$  |-\ atunci $
\begin{cases}
(a_m+b_m) \to a+b \\
(a_m-b_m) \to a-b \\
(a_m \cdot b_m) \to a \cdot b \\
(\frac{a_m}{b_m}) \to \frac{a}{b}, b_m \neq 0 \\ b \neq 0
\end{cases}$

# Teorema 8 (a șirului $q^m$)

- $x_m = q^m, m \in \mathbb{N}, q \in \mathbb{R}$
$\lim_{m \to \infty} q^m = \begin{cases} +\infty, \text{daca } q > 1 \\ 1, \text{daca } q = 1 \\ 0, \text{daca } q \in (-1, 1) \\ \nexists, \text{daca } q < -1 \end{cases}$

# Teorema 9 (Criteriul majorării)

- \textgreater Dacă ($x_m$) măr și ($y_m$) măr verifică:
(1) $|x_m| \le a_m$ $\forall m \ge K$ |$\implies x_m \to 0$
(2) $a_m \to 0$

# Teorema 10 (Criteriul Leibniz)

- \textgreater Dacă $a_m$ este mărginit și $b_m$ este convergent la 0, atunci
$\lim_{m \to \infty} a_m \cdot b_m = 0$
(1) $|a_m \cdot b_m| = |a_m| \cdot |b_m| \le M \cdot |b_m| \implies \lim_{m \to \infty} a_m \cdot b_m = 0$
(2) $\lim_{m \to \infty} M \cdot |b_m| = M \cdot 0 = 0 \implies M \cdot 0 = 0$

# Teorema 11 (Criteriul cleștii)

- \textgreater Dacă șirurile $a_m, b_m, x_m$ au prop:
(1) $a_m \le x_m \le b_m, \forall m \ge k$
(2) $\lim_{m \to \infty} a_m = \lim_{m \to \infty} b_m = l \in \mathbb{R}$
atunci $\lim_{m \to \infty} x_m = l$

Teoreme introducere in analiza matematica

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț

Teoreme introducere in analiza matematica

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț