Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Română

https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/01950010-cbe1-7ff0-8626-eb4cf1fe7a6a.pdf

01950010-cbe1-7ff0-8626-eb4cf1fe7a6a

Prezentare

Elo:)

Romania

Gimnaziu

Matematică

formule pe scurt-matematică 

# Aritmetica şi algebra

## Mulţimi
- $\in$ aparţine  - $\notin$ nu aparţine  - $\subset$ inclusă  - $\supset$ include
- $\emptyset$ mulţimea vidă (mulţime care nu are elemente)
- $A \cup B$ reuniunea
- $A \cap B$ intersecţia
- $|A|$ cardinalul unei mulţimi (numărul elementelor)
- $A \setminus B$ diferenţa
- $A \times B$ produs cartezian
- $\mathbb{N}$ naturale: {0, 1, 2, ...}
- $\mathbb{Z}$ întregi: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
- $\mathbb{Q}$ raţionale: {$\frac{a}{b}$ | $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z}$*, $b \ne 0$}
- $\mathbb{R}$ reale: (1, 2, 3,...)
- $\mathbb{C}$ complexe: $a + bi$, $a, b \in \mathbb{R}$, $i^2 = -1$

Operaţii cu mulţimi: $A \cup B = \{x | x \in A \text{ sau } x \in B\}$, $A \cap B = \{x | x \in A \text{ şi } x \in B\}$ 
reuniunea
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 
intersecţia
$A \cap B = \{4, 7, 8\}$

## Reguli de calcul
- Fracţii zecimale: 1,37 + 4,53 = 5,97; 3, 1 - 1,2 = 1,8; 3,87 * 10 = 38,7; 0,02 : 20 = 0,001; 20 : 0,02 = 1000
- Numere întregi: 36 : 2 = 18; 27 : 3 = 9; 100 : 25 = 4; 0,26 : 2 = 0,13; 26 : 2 = 13
- 2,3 + 7,5 = 9,8; 10 - 4,5 = 5,5; 2 * 3,5 = 7; 10 : 2,5 = 4
- (-3) + 5 = 2; (-5) + 2 = -3; (-5) + (-1) = -6; (-2) * (-3) = 6; (-2) * 3 = -6
- Opusul lui 35 este -35; opusul lui -8 este 8

## Puteri
- $2^1 = 2$; $2^2 = 4$; $2^3 = 8$; $2^4 = 16$; $2^5 = 32$; $2^6 = 64$; $2^7 = 128$; $2^8 = 256$; $2^9 = 512$; $2^{10} = 1024$
- $(-2)^1 = -2$; $(-2)^2 = 4$; $(-2)^3 = -8$; $(-2)^4 = 16$; $(-2)^5 = -32$; $(-2)^6 = 64$; $(-2)^7 = -128$; $(-2)^8 = 256$; $(-2)^9 = -512$; $(-2)^{10} = 1024$

## Radicali
- $\sqrt{1} = 1$; $\sqrt{4} = 2$; $\sqrt{9} = 3$; $\sqrt{16} = 4$; $\sqrt{25} = 5$; $\sqrt{36} = 6$; $\sqrt{49} = 7$; $\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{81} = 9$; $\sqrt{100} = 10$
- Fracţii egiptene: $\frac{1}{2} = 0,5$; $\frac{1}{3} = 0,333...$; $\frac{1}{4} = 0,25$; $\frac{1}{5} = 0,2$; $\frac{1}{6} = 0,166...$; $\frac{1}{7} = 0,142857...$; $\frac{1}{8} = 0,125$; $\frac{1}{9} = 0,111...$; $\frac{1}{10} = 0,1$

## Radicali
- $\sqrt{813} = \sqrt{9 * 90 + 3} = 28,51$; $\sqrt{65} = 8,06$; $\sqrt{574} = 23,96$

## Scăderea factorilor sub radical
- $\sqrt{a^2 + b^2} \ne a + b$; $\sqrt{a^2 - b^2} \ne a - b$; $\sqrt{a^2 + 2ab + b^2} = a + b$; $\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = a - b$

## Calculul algebric
- $2x + y - 2y = 2x - y$; $2x + 2y - 2x = 2y$; $2x - 2y + 2x = 4x - 2y$; $2x - 2y + 2y = 2x$
- $\frac{2x}{2} = x$; $\frac{2x + 2y}{2} = x + y$; $\frac{2x - 2y}{2} = x - y$; $\frac{4x - 2y}{2} = 2x - y$

## Raţionalizarea numitorului
- $\frac{x}{\sqrt{y}} = \frac{x\sqrt{y}}{y}$; $\frac{x}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{x(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}$; $\frac{x}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{x(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y}$

## Trecerea termenilor dintr-un membru în altul în egalităţi: termenii se pot trece dintr-un membru în altul schimbându-le semnul
- $x + y = z \Rightarrow x = z - y$; $x - y = z \Rightarrow x = z + y$; $xy = z \Rightarrow x = \frac{z}{y}$; $\frac{x}{y} = z \Rightarrow x = yz$

## Modul (valoare absolută)
- $|x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0\\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}$ ; în general, $|x| = \sqrt{x^2}$
- $|x - 3| = 3$; $|x| = 2$; $|x - 1| = 0$; $|x + 1| = 1$; $|x - 2| = 3$; $|x + 2| = 1$; $|x - 1| = 2$; $|x + 1| = 3$
- $|x| = |y| \Leftrightarrow x = y \text{ sau } x = -y$

## Comparări
- $5 > 4$; $7 > 5$; $9 > 2$; $2 > -1$
- $4 < 5$; $7 < 9$; $2 < 5$; $-1 < 0$
- $2,4 < 3,9$; $-1 < 4$; $-4,1 < -3,82$

## Intervale
- $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} | a \le x \le b\}$ (interval închis)
- $(a, b) = \{x \in \mathbb{R} | a < x < b\}$ (interval deschis)
- $[a, b) = \{x \in \mathbb{R} | a \le x < b\}$ (interval semiînchis la dreapta)
- $(a, b] = \{x \in \mathbb{R} | a < x \le b\}$ (interval semiînchis la stânga)

## Descompunerea expresiilor în factori
- Prin factor comun
- $x^2 + 2x = x(x + 2)$; $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$; $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
- Prin grupare de termeni
- $x^3 + 2x^2 - 3x - 6 = x^2(x + 2) - 3(x + 2) = (x^2 - 3)(x + 2)$
- Prin formule
- $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$; $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$; $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
- $2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$; $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$; $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$

## Ecuaţia de gradul doi (forma generală: $ax^2 + bx + c = 0$)
- Rezolvare: calculul lui $\Delta = b^2 - 4ac$
- Dacă $\Delta \ge 0$, soluţiile sunt: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
- Dacă $\Delta < 0$, ecuaţia nu are soluţii

## Unităţi de măsură
| Lungime | Arie | Volum | Capacitate | Masă | Timp |
|---|---|---|---|---|---| 
| 30 mm = 3 cm | 7 km$^2$ = 700 ha | 5 km$^3$ = 5000 hm$^3$ | 1 l = 1 dm$^3$ | 4 kg = 4000 g | 1 oră = 60 minute |
| 0,75 m = 750 mm | 2 hm$^2$ = 20000 m$^2$ | 0,05 km$^3$ = 50 000 dam$^3$ | 3000 ml = 3 l | 70 cg = 7 g | 1 minut = 60 secunde |
| 2,5 dm = 25 cm | 1 ha = 100 a = 10000 m$^2$ | 1 m$^3$ = 1000 dm$^3$ | 1 dal = 10 l | 0,5 kg = 500 g | 1 secundă = 1000 milisecunde |
| 3,25 cm = 32,5 mm | 0,2 ha = 2000 m$^2$ | 1 dm$^3$ = 1000 cm$^3$ | 125 ml = 0,125 l | 625 g = 0,625 kg | 1 mileniu = 1000 ani |
| 1,3 dm = 13 cm | 0,04 ha = 400 m$^2$ | 3 m$^3$ = 3000 dm$^3$ = 3000 l | 0,07 kl = 70 l | 200 mg = 0,2 g | 1 secol = 100 ani |
| 5,7 hm = 570 m | 0,02 ha = 200 m$^2$ | 0,25 dam$^3$ = 250 dm$^3$ | 3 cl = 0,03 dl | 3000 g = 3 kg | 1 % = 0,01 Minute |
|  |  |  |  | 34 g = 0,034 kg | 1 oră = 3600 secunde |

## Numere naturale
- Număr par (sau par): un număr divizibil cu 2. Ex: 4, 5
- Numere consecutive: 2, 3, 4, 5, 6,...
- Număr impar: 1, 3, 5, 7, 9, 11,...
- Patratul lui 7 este $7^2 = 49$; cubul lui 2 este $2^3 = 8$
- $10^x$ = x de 0
- Număr prim (sau prim): număr natural mai mare ca 1, care are numai doi divizori naturali: 1 şi el însuşi. Ex: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
- Cub perfect: este egal cu cubul unui număr natural. 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, ...
- Patrat perfect: este egal cu pătratul unui număr natural. 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

## Teorema împărţirii cu rest
- $D = d * c + R$, $0 \le R < d$
- D = deîmpărţit; d = împărţitor; c = cât; R = rest

## Sume de puteri

## Factor comun
- $3x - 3y = 3(x - y)$; $7x^2 - 7x + 14x = 7x(x - 1 + 2) = 7x(x + 1)$; $5x^2 - 10x - 5y^2 = 5(x^2 - 2x - y^2)$

## Transformarea fracţiilor zecimale
- Finite: 0,7 = $\frac{7}{10}$; 0,207 = $\frac{207}{1000}$; 3,45 = $\frac{345}{100}$
- Perioadice simple: 0,133... = $\frac{133 - 13}{990} = \frac{120}{990} = \frac{4}{33}$
- Perioadice mixte: 0,1735 = $\frac{1735 - 17}{9900} = \frac{1718}{9900} = \frac{859}{4950}$

## Formule de calcul
| Formule | Exemplu |
|---|---| 
| $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | $(3x + 4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$ |
| $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | $(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$ |
| $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ | $(3x + 4y)(3x - 4y) = 9x^2 - 16y^2$ |
| $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ | $(2a + b)^3 = 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3$ |
| $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ | $(a - 2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$ |
| $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ |  |
| $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ |  |

## Formula radicalilor compuşi
- $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$

## Aproximare
- Fie numărul 3,1416. Aproximăm cu:
- Aproximări prin lipsă: 3,1; Aproximări prin adaos: 3,2
- Partea întreagă: [3,14] = 3; [0,1] = 0; [-1,5] = -2; [-0,1] = -1
- Partea întreagă a unui număr este numărul cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu numărul dat.
- Partea fracţionară a lui x este definită astfel: {x} = x - [x]

## Sisteme de ecuaţii
- Rezolvare prin metoda substituţiei
- Rezolvare prin metoda reducerii (se adună ecuaţiile)

## Sistem de axe
- Oxa absciselor
- Oy-axa ordonatelor
- Punctul O(0, 3)
- Numărul 5 este abscisa, iar 3 este ordonata lui M

## Funcţii
- Spunem că am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori în mulţimea B dacă facem o corespondenţă din A în B astfel încât fiecărui element din A îi corespunde un singur element în B.
- A = domeniul de definiţie; B = codomeniul de valori
- Ex: Funcţie liniară: $y = f(x) = ax + b$
- Reprezentarea grafică: Fie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 5$
- Calculul coordonatelor punctelor
- Intersecţia graficului cu axele

## Divizibilitate
- 2 | 18 (2 divide pe 18); 18 | 18 este divizibil cu 3
- Divizorii lui 18 sunt: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Multiplii lui 18 sunt: 18, 36, 54, 72, ...
- Numere prime între ele (prime): (8, 15) = 1
- Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.): (12, 18) = 6
- Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.): (4, 6) = 12
- Dacă a şi b sunt numere întregi, atunci a - b este divizibil cu 2
- Relaţia dintre c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. a două numere naturale a şi b este: $a * b = c.m.m.d.c.(a, b) * c.m.m.m.c.(a, b)$
- Criterii de divizibilitate:
- 2 - dacă ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8 (ex: 756, 1934)
- 3 - dacă suma cifrelor se divide cu 3 (ex: 291, 1935)
- 4 - dacă numărul format din ultimele 2 cifre se divide cu 4 (ex: 900, 912)
- 5 - dacă ultima cifră este 0 sau 5 (ex: 295, 130)
- 6 - dacă numărul se divide cu 2 şi cu 3 (ex: 492)
- 8 - dacă numărul format din ultimele 3 cifre se divide cu 8 (ex: 9000)
- 9 - dacă suma cifrelor se divide cu 9 (ex: 495, 2394)
- 10 - dacă se termină în 0 (ex: 230, 1900)
- 25 - dacă sunt ultimele două cifre 00, 25, 50, 75 (ex: 25, 375)
- 100 - dacă sunt ultimele două cifre 00 (ex: 1900)

## Fracţii
- $\frac{a}{b}$: a - numărător; b - numitor
- echivalente: au numitorul = numărătorul. Ex: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = ...$
- supraunitare: numărătorul > numitorul. Ex: $\frac{2013}{141}$
- subunitare: numărătorul < numitorul. Ex: $\frac{141}{2013}$
- ireductibile: care nu se pot simplifica. Ex: $\frac{5}{7}$
- reductibile: care se pot simplifica. Ex: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
- echivalente: care se reduc succesiv. Ex: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = ...$

## Procent
- raportul $\frac{a}{b}$ * 100 = a % 
- 7% din 300 = $\frac{7}{100}$ * 300 = 21

## Proprietăţi ale mărimii de două mărimi proporţionale
- 2,3,4,5 - numere de termeni proporţionali
- $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = ...$

## Numerele x, y, z sunt direct proporţionale cu 2, 3, 7 dacă:
- $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{7}$

## Regula de trei simple direct proporţională
- Ex: Dacă 3 kg de mere costă 12 lei, cât costă 5 kg?
- $\frac{3}{12} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = 20$
- Ex: În 3 minute pot umple un bazin cu 20 l. Avem 5 robinete. Cât timp trebuie să aşteptăm?
- $\frac{3}{20} = \frac{x}{100} \Rightarrow x = 15$

## Probabilitatea unui eveniment
- $P(A) = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile}$

formule pe scurt-matematică

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț

formule pe scurt-matematică

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț