Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Română

Formule matematică clasele 5-8 Algebra și geometrie.

https://content-eu-central-1.knowunity.com/CONTENT/0194c04b-79c9-7858-843f-4bf975835e53.pdf

0194c04b-79c9-7858-843f-4bf975835e53

Notiță

Maria Asteleanu

Romania

Gimnaziu

Matematică

Formule matematică 

# Aritmetica şi algebra

## Mulţimi
- $\in$ aparţine  - $\notin$ nu aparţine  - $\subset$ inclusă  - $\supset$ include
- $\emptyset$ mulţimea vidă (mulţime care nu are elemente)
- $A \cup B$ reuniunea
- $A \cap B$ intersecţia
- Cardinalul unei mulţimi=numărul elementelor
- $card(A)=3$
- $A \setminus B$ diferenţa
- $A \times B$ produs cartezian
- $\mathbb{N}$ naturale: {0,1,2,...}
- $\mathbb{N^*}$ naturale fără 0: {1,2,3,...}
- $\mathbb{Z}$ întregi: {...,-2,-1,0,1,2,...}
- $\mathbb{Q}$ raţionale: $\frac{a}{b}$, $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z^*}$
- $\mathbb{R}$ reale
- $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ iraţionale
- $\mathbb{C}$ complexe
- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

Operaţii cu mulţimi:
- reuniunea: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ sau } x \in B\} = \{1,2,3,4,7,8,9\}$
- intersecţia: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ şi } x \in B\} = \{2,7\}$
- diferenţa: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ şi } x \notin B\} = \{1,3,4,8,9\}$
- produs cartezian: $A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}$

## Reguli de calcul

**Fracţii zecimale:** 1,37+4,53=5,97; 3,1-1,2=1,9; 3,8*10=38; 0,02:20=0,001; 20:0,02=1000

**Numere întregi:** 36:2=18; 27:3=9; 100:25=4; 36:4=9; 0,26:2=0,13; 26:2=13

**Numere raţionale:** $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$; $\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$; $\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=2$

**Opusul lui 35 este -35.**
**Numărul -8 este negativ.**

**(-5)-(-1)= -4**
**(-2)+(-1)=-3**
**(-2)*(-1)=2**
**(-2):(-1)=2**
**(-2)^2=4**
**(-2)^3=-8**
**(-2)^4=16**
**(-2)^5=-32**
**(-2)^6=64**
**(-a)^n=(-1)^n*a^n**

## Puteri

$5^1=5$
$5^2=25$
$5^3=125$
$5^4=625$
$5^5=3125$
$5^6=15625$

## Radicali

$\sqrt{1}=1$
$\sqrt{4}=2$
$\sqrt{9}=3$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{25}=5$
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{49}=7$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{100}=10$
$\sqrt{121}=11$
$\sqrt{144}=12$
$\sqrt{169}=13$
$\sqrt{196}=14$
$\sqrt{225}=15$
$\sqrt{256}=16$
$\sqrt{289}=17$
$\sqrt{324}=18$
$\sqrt{361}=19$
$\sqrt{400}=20$

## Fracţii ordinare

$\frac{1}{1}=1$
$\frac{1}{2}=0,5$
$\frac{1}{3}=0,333...$
$\frac{1}{4}=0,25$
$\frac{1}{5}=0,2$
$\frac{1}{6}=0,166...$
$\frac{1}{7}=0,142857...$
$\frac{1}{8}=0,125$
$\frac{1}{9}=0,111...$
$\frac{1}{10}=0,1$
$\frac{1}{11}=0,0909...$
$\frac{1}{12}=0,0833...$
$\frac{1}{20}=0,05$
$\frac{1}{21}=0,0476...$
$\frac{1}{22}=0,0454...$
$\frac{1}{23}=0,0434...$
$\frac{1}{24}=0,0416...$
$\frac{1}{25}=0,04$
$\frac{1}{30}=0,0333...$
$\frac{1}{31}=0,0322...$
$\frac{1}{32}=0,03125$
$\frac{1}{33}=0,0303...$
$\frac{1}{34}=0,0294...$
$\frac{1}{35}=0,02857...$

## Numere naturale
- Număr par (sau par): un număr divizibil cu 2. Ex: 4,5
- Numere consecutive: 2,3,4,6,8,10,...
- Număr impar: 1,3,5,7,9,11,...
- Patratul lui 7 este $7^2=49$. Cubul lui 2 este $2^3=8$
- $10^x$ = x de 0
- $10^2=100$; $10^3=1000$; $10^4=10000$; $10^5=100000$
- Număr prim: are numai doi divizori: 1 şi el însuşi. Ex: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,...
- Număr perfect: este egal cu suma divizorilor săi naturali. Ex: 6
- Cub perfect: este egal cu cubul unui număr natural. Ex: 1, 8, 27, 64,...
- Patrat perfect: este egal cu pătratul unui număr natural. Ex: 0, 1, 4, 9, 16, 25,...

## Teorema Împărţirii cu rest

$D=d*c+R$, $0 \le R < d$

## Sume de puteri

$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

## Factor comun

$3x-3y=3(x-y)$
$x^2-x=x(x-1)$
$7x^2-7x+14x-14=7x(x-1)+14(x-1)=(7x+14)(x-1)=7(x+2)(x-1)$

## Transformarea fracţiilor zecimale

**Finite:** 0,7 = $\frac{7}{10}$ ; 0,207 = $\frac{207}{1000}$ ; 3,45 = $\frac{345}{100}$
**Periodice simple:** 0,1333... = $\frac{13-1}{90}$ = $\frac{12}{90}$ = $\frac{2}{15}$
**Periodice mixte:** 0,17333... = $\frac{173-17}{900}$ = $\frac{156}{900}$ = $\frac{13}{75}$

## Formule de calcul

Exemple
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(3x+4y)^2=9x^2+24xy+16y^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(2x-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$(3x+4y)(3x-4y)=9x^2-16y^2$
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

## Formula radicalilor compuşi

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

## Aproximare

Fie numărul 3,1416. Aproximăm cu:
- Aproximări prin lipsă: 3,1; Aproximări prin adaos:3,2
- Partea întreagă: [3,14] = 3; [0,15] = 0; [-1,5] = -2
- Partea întreagă a unui număr este numărul cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu numărul dat.
- Partea fracţionară a lui x este definită astfel: {x} = x-[x]

## Modul (valoare absolută)

$|x|=\begin{cases} x, & \text{dacă } x \ge 0\\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases}$

## Comparări

$5>4$
$7>5$
$9>7$
$2>1$
$4<5$
$7<9$
$5<7$
$2<3$
$-2<-1$
$-4<-3$
$-3,82<-1$

## Intervale

$[x,y] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a \text{ şi } x \le b\}$ (interval închis)
$(x,y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a \text{ şi } x < b\}$ (interval deschis)
$[x,y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a \text{ şi } x < b\}$
$(x,y] = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a \text{ şi } x \le b\}$

## Descompunerea expresiilor în factori

**Prin factor comun:**
$x^2-4=(x-2)(x+2)$
$x^2-4x=x(x-4)$
$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$

**Prin grupare de termeni:**
$2x^2+2x+3x+3=2x(x+1)+3(x+1)=(2x+3)(x+1)$
$x^3+x^2-9x-9=x^2(x+1)-9(x+1)=(x^2-9)(x+1)=(x-3)(x+3)(x+1)$

**Prin formule:**
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

## Ecuaţia de gradul doi (forma generală: $ax^2+bx+c=0$)

**Rezolvare:** formula delta: $\Delta = b^2-4ac$
**Dacă $\Delta > 0$, soluţiile sunt:** $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
**Dacă $\Delta = 0$, soluţia este:** $x = \frac{-b}{2a}$

## Unităţi de măsură

| Lungime | Arie | Volum | Capacitate | Masă | Timp |
|---|---|---|---|---|---| 
| 30 mm=3 cm | 7 km$^2$=700 ha | 5 km$^3$=5000 dm$^3$ | 1 l=1 dm$^3$ | 4 kg=4000 g | 1 oră=60 minute |
| 2,7 m=270 cm | 2 hm$^2$=20000 m$^2$ | 0,05 m$^3$=50000 cm$^3$ | 3000 ml=3 l | 70 cg=7 g | 1 minut=60 secunde |
| 2,5 dm=25 cm | 1 ha=100 a=10000 m$^2$ | 1 m$^3$=1000 dm$^3$ | 1 dal=10 l | 0,5 kg=500 g | 1 secunda=1000 milisecunde |
| 3,5 cm=35 mm | 0,2 ha=2000 m$^2$ | 1 dm$^3$=1000 cm$^3$ | 125 ml=0,125 l | 200 g=0,2 kg | 1 mileniu=1000 ani |
| 1,3 dm=13 cm | 0,04 ha=400 m$^2$ | 3 m$^3$=3000 dm$^3$=3000000 cm$^3$ | 0,07 kl=70 l | 6,25 hg=625 g | 1 secol=100 ani |
| 5,7 hm=570 m | 0,02 ha=200 m$^2$ | 0,25 dam$^3$=250 m$^3$ | 3 cl=0,03 dl | 3000 g=3 kg | 1 %ore=3600 secunde |
|  |  |  |  | 34 g=0,034 kg | 1/2 ore=30 minute |

## Sistem de ecuaţii

**Rezolvare prin metoda substituţiei:**
$2x+y=11$
$x-4y=1$

**Rezolvare prin metoda reducerii:** (se adună ecuaţiile)
$3x+4y=22$
$3x-2y=8$

## Sistem de axe

**Ox-axa absciselor**
**Oy-axa ordonatelor**
**Punctul O(5,3)**
**Numărul 5 este abscisa, iar 3 este ordonata lui M.**

## Funcţii

Spunem că $f$ definit o funcţie pe mulţimea A cu valori în mulţimea B dacă facem o corespondenţă din A în B astfel încât fiecărui element din A îi corespunde un singur element în B.
$f:A \to B$
$A$=domeniul (definiţia) $B$=codomeniul (valorii)
$f(x)=y$

**Reprezentare grafică:** Fie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o funcţie de forma $y=f(x)$
**Funcţia liniară:** $y=ax+b$
**Calculul coordonatelor punctelor:**
Intersecţia cu Ox se calculează cu $f(x)=0$
Intersecţia cu Oy se calculează cu $f(0)$

**Dacă punctul P(x,y) se află pe graficul funcţiei $y=f(x)$, atunci $y=f(x)$.**
**Determinarea funcţiei de gradul 1 cunoscând două puncte ale graficului:**
Calculăm coeficienţii $a$ şi $b$ din intersecţia a două puncte ale funcţiei $f(x)$
$f(x)=ax+b$
$f(1)=2 \implies a+b=2$
$f(2)=5 \implies 2a+b=5$
Se rezolvă sistemul de ecuaţii: $\begin{cases} a+b=2\\ 2a+b=5 \end{cases}$ $\implies a=3, b=-1$

## Divizibilitate

2|18 (2 divide pe 18)
18:2=9
163:18 este divizibil cu 3

## Divizori

Multiplii lui 18 sunt: 18,36,54,72,...
Divizorii lui 18 sunt: 1,2,3,6,9,18
Numere prime între ele: (8,12) = 4

## Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.)

Cel mai mare divizor comun al numerelor 8 şi 12 este 4

## Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)

Dacă a şi b sunt prime între ele, c.m.m.m.c. (a,b)=a*b

## Criterii de divizibilitate

- 2: dacă ultima cifră este 0,2,4,6 sau 8 (ex: 756, 1934)
- 3: dacă suma cifrelor se divide cu 3 (ex: 291, 1002)
- 4: dacă ultimele două cifre se divid cu 4 (ex: 236, 1932)
- 5: dacă ultima cifră este 0 sau 5 (ex: 235, 490)
- 6: dacă numărul se divide cu 2 şi cu 3 (ex: 126, 900)
- 7: nu există criteriu simplu
- 8: dacă ultimele trei cifre se divid cu 8 (ex: 1000, 8001)
- 9: dacă suma cifrelor se divide cu 9 (ex: 135, 495)
- 10: dacă se sfârşeşte în 0 (ex: 730, 1900)
- 25: dacă se sfârşeşte în 25 (ex: 725, 1900)

## Fracţii

$a$ - numărător, $b$ - numitor

**supraranire:** au numitorul > numărătorul. Ex: $\frac{20}{13}$ , $\frac{2014}{2013}$
**echiranire:** au numitorul = numărătorul. Ex: $\frac{7}{7}$
**subranire:** au numitorul < numărătorul. Ex: $\frac{18}{14}$
**ireductibile:** care nu se pot simplifica. Ex: $\frac{5}{7}$
**reductibile:** care se pot simplifica. Ex: $\frac{12}{18}$ = $\frac{2}{3}$
**echivalente:** care se reduc succesiv. Ex: $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{6}{9}$ = $\frac{8}{12}$

## Procent

7% din 300 = $\frac{7}{100}$ * 300 = 21

## Raport

Raportul numerelor 5 şi 2 este $\frac{5}{2}$

## Proprietăţi ale mărimii de două mărimi proporţionale

2,3,4,6 - o serie de termeni proporţionali

## Numerele x, y, z sunt direct proporţionale cu 2,3,7 dacă:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{7}$

## Reguli de trei simple directe

**Exemplu:**
**a)** Dacă 3 kg de mere costă 12 lei, cât costă 5 kg?
**b)** În 5 minute un robinet umple un bazin. Cât timp este necesar pentru a umple bazinul cu 2 robinete?
**c)** Dacă 3 robinete umplu un bazin în 20 minute. Cât timp este necesar pentru a umple bazinul cu 5 robinete?

## Probabilitatea unui eveniment

$\frac{nr.cazuri favorabile}{nr.cazuri posibile}$

## Medii

**Aritmetică:** $m = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$
**Geometrică:** $m = \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$
**Armonică:** $m = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}$

**Inegalitatea mediilor:** $m_h \le m_g \le m_a$

Media aritmetică ponderată a numerelor 3, 6, 9, 12, ...
Având ponderile 3, 6, 9, 12 este: $\frac{3*3+6*6+9*9+12*12}{3+6+9+12}$ = $\frac{270}{30}$ = 9

Formule matematică

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț

Formule matematică

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Înregistrează-te pentru a obține acces nelimitat la mii de materiale de studiu. E gratuit!

Nu găsești ce cauți? Explorează alte MATERII.

Knowunity este aplicația de educație numărul 1 în cinci țări europene.

Knowunity a fost o poveste prezentată de Apple și a fost constant în topul clasamentelor din App Store la categoria educație în Germania, Italia, Polonia, Elveția și Regatul Unit. Alătură-te Knowunity astăzi și ajută milioane de elevi din întreaga lume.

4.9+

20 M

#1

950 K+

Încă nu ești sigur? Vezi ce spun colegii tăi...

Ador această aplicație atât de mult [...] Recomand Knowunity tuturor!!! Am trecut de la un C la un A cu ea :D

Aplicația este foarte simplă și bine gândită. Până acum am găsit exact ce căutam :D

Ador această aplicație ❤️, o folosesc tot timpul când învăț