Mulțimea numerelor reale

Numerele reale constituie o extindere a sistemelor numerice mai simple. Avem mai multe tipuri de sisteme numerice:

Mulțimea numerelor naturale $N = {0, 1, 2, ...}$ reprezintă punctul de plecare. Un număr natural poate fi reprezentat în baza 10 ca n = c₁₀10ᵏ + ... + c₁10 + c₀, unde cifrele c sunt între 0 și 9. Numerele naturale pot fi reprezentate geometric ca puncte pe o dreaptă, pornind de la origine (0).

Mulțimea numerelor întregi $Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}$ extinde numerele naturale. Acestea includ și numere negative, și pot fi văzute pe dreaptă în stânga originii.

Mulțimea numerelor raționale (Q) conține toate fracțiile de forma m/n, unde m este întreg și n este natural nenul. Orice număr rațional se poate reprezenta zecimal fie ca un număr cu un număr finit de zecimale, fie ca un număr cu zecimale periodice.

💡 Un număr rațional poate fi identificat pe dreapta reală împărțind segmentul unitate în n părți egale și luând m astfel de părți în direcția corespunzătoare semnului.

Reprezentarea geometrică ne ajută să înțelegem relația dintre numere și poziția lor pe dreapta numerelor. Această vizualizare este fundamentală pentru înțelegerea proprietăților de ordine ale numerelor reale.

Structura mulțimii numerelor reale

Numerele reale (ℝ) extind numerele raționale și includ și numerele iraționale. Fiecare număr real poate fi asociat unui unic punct pe dreapta reală și invers.

Numerele iraționale sunt numerele care nu pot fi exprimate ca fracții și au un număr infinit de zecimale neperiodice. Exemple clasice sunt √2 = 1.4142... și π = 3.14159...

Mulțimea numerelor reale are trei structuri principale:

1. Structura algebrică - definită prin operațiile de adunare și înmulțire
2. Structura de ordine - definită prin relațiile <, >, ≤, ≥
3. Topologia - definită prin conceptul de vecinătate

Relația de ordine în ℝ are proprietăți importante:

• Reflexivitate: a ≤ a
• Antisimetrie: dacă a ≤ b și b ≤ a, atunci a = b
• Tranzitivitate: dacă a ≤ b și b ≤ c, atunci a ≤ c
• Totalitate: pentru orice a și b, a ≤ b sau b ≤ a
• Compatibilitate cu operațiile aritmetice

Cu ajutorul relației de ordine se definesc intervalele, care pot fi:

• Închise: $a, b$ = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
• Deschise: (a, b) = {x ∈ ℝ | a < x < b}
• Semideschise: $a, b) sau (a, b$
• Improprii: $a, ∞), (a, ∞), (-∞, b$, $-∞, b$

💡 O proprietate fundamentală a numerelor reale este completitudinea - orice șir monoton și mărginit are limită.

Șiruri de numere reale

Șirul de numere reale este o funcție a: ℕ → ℝ. Valoarea funcției pentru un indice n se notează cu aₙ și reprezintă termenul de rang n al șirului.

Un șir (aₙ)ₙ≥ₙ₀ este convergent către a dacă limₙ→∞ aₙ = a și a este finit. Dacă limita există dar nu e finită, șirul este divergent către ±∞. Dacă limita nu există, șirul este nedeterminat.

Din punct de vedere matematic, un șir (aₙ) este convergent către a dacă pentru orice ε > 0, există nε ∈ ℕ astfel încât |xₙ - a| < ε pentru orice n ≥ nε.

Șirurile pot avea comportamente monotone:

• Crescător: aₙ₊₁ ≥ aₙ pentru orice n
• Descrescător: aₙ₊₁ ≤ aₙ pentru orice n
• Strict crescător: aₙ₊₁ > aₙ pentru orice n
• Strict descrescător: aₙ₊₁ < aₙ pentru orice n

Pentru a determina monotonia unui șir, putem:

1. Studia semnul diferenței dintre termeni consecutivi $aₙ₊₁ - aₙ$
2. Pentru termeni strict pozitivi, putem compara raportul aₙ₊₁/aₙ cu 1

💡 Un șir monoton (crescător sau descrescător) și mărginit este întotdeauna convergent - aceasta este o consecință directă a completitudinii mulțimii numerelor reale.

Monotonia este o proprietate importantă ce ne ajută să determinăm convergența șirurilor și să calculăm limitele acestora.

Limite de șiruri și rapoarte de polinoame

Pentru rapoarte de polinoame, limita șirului $\lim_{n \to \infty} \frac{P(n)}{Q(n)}$ se poate determina prin compararea gradelor celor două polinoame:

Fie $P(n) = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + ... + a_1 n + a_0$ cu $a_k \neq 0$ și $Q(n) = b_m n^m + b_{m-1} n^{m-1} + ... + b_1 n + b_0$ cu $b_m \neq 0$

Atunci:

• Dacă $k < m$, limita este 0
• Dacă $k = m$, limita este $\frac{a_k}{b_m}$
• Dacă $k > m$, limita este $\infty$

Exemplu: Pentru $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+2n-1}{5n^2-7}$, ambele polinoame au gradul 2, deci limita este $\frac{3}{5}$.

💡 Pentru calculul limitelor rapoartelor de polinoame, contează doar termenii de grad maxim din numărător și numitor când n tinde la infinit.

Această regulă simplifică semnificativ calculul limitelor pentru șiruri definite prin rapoarte de polinoame, care sunt frecvente în aplicații practice.

Serii de numere reale

O serie reprezintă suma termenilor unui șir: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Pentru a calcula suma unei serii, putem analiza comportamentul șirului sumelor parțiale: $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$.

Exemplul 4: Pentru seria $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$, observăm că: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Astfel, suma parțială devine: $s_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$

Când $n \to \infty$, obținem $\lim_{n \to \infty} s_n = 1$.

O serie cu termeni pozitivi este o serie în care toți termenii sunt nenegativi. Pentru astfel de serii, putem aplica diverse criterii de convergență:

Criteriul I al comparației: Dacă $0 \leq a_n \leq b_n$ pentru orice n, atunci:

• Dacă $\sum b_n$ converge, atunci $\sum a_n$ converge
• Dacă $\sum a_n$ diverge, atunci $\sum b_n$ diverge

💡 Un exemplu important este seria armonică $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, care este divergentă, în timp ce seria armonică generalizată $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ converge dacă și numai dacă $p > 1$.

Aceste criterii de convergență sunt instrumente esențiale pentru analiza seriilor infinite, care apar frecvent în calcule matematice avansate.

Mai multe criterii de convergență pentru serii

Criteriul II al comparației: Pentru două serii cu termeni pozitivi, dacă $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{b_{n+1}}{b_n}$, atunci:

• Dacă $\sum b_n$ converge, atunci $\sum a_n$ converge
• Dacă $\sum a_n$ diverge, atunci $\sum b_n$ diverge

Criteriul III al comparației: Dacă $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = K$, atunci:

• Dacă $0 < K < \infty$, seriile au aceeași natură (ambele converg sau ambele diverg)
• Dacă $K = 0$ și $\sum b_n$ converge, atunci $\sum a_n$ converge
• Dacă $K = \infty$ și $\sum b_n$ diverge, atunci $\sum a_n$ diverge

Exemplu: Pentru seria $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin \frac{1}{n}}{n}$, calculăm $\lim_{n \to \infty} \frac{sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$. Deoarece $\sum \frac{1}{n}$ diverge, rezultă că și seria noastră diverge.

Criteriul radicalului: Dacă $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = λ$, atunci:

• Dacă $λ < 1$, seria converge
• Dacă $λ > 1$, seria diverge
• Dacă $λ = 1$, criteriul nu decide

💡 Criteriul raportului este deosebit de util pentru serii care conțin factoriale sau puteri, deoarece ne permite să evaluăm rapid convergența fără a calcula efectiv sumele parțiale.

Criteriile de convergență ne oferă instrumente variate pentru a analiza comportamentul seriilor în funcție de proprietățile termenilor lor.

Criterii avansate de convergență pentru serii

Criteriul raportului: Dacă $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = λ$, atunci:

• Dacă $λ < 1$, seria converge
• Dacă $λ > 1$, seria diverge
• Dacă $λ = 1$, criteriul nu decide

Exemplu: Pentru seria $\sum_{n=5}^{\infty} \frac{n}{5^n}$, calculăm: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{5^{n+1}}}{\frac{n}{5^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5n} = \frac{1}{5} < 1$

Deci seria converge.

Criteriul lui Raabe-Duhamel: Dacă $\lim_{n \to \infty} n \cdot (1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}) = \lim_{n \to \infty} n \cdot (\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1) = λ$, atunci:

• Dacă $λ > 1$, seria converge
• Dacă $λ < 1$, seria diverge
• Dacă $λ = 1$, criteriul nu decide

Exemplu: Pentru $\sum_{n \geq 0} \frac{3}{2n^2 + 1}$, avem: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 = \lim_{n \to \infty} (\frac{2(n+1)^2 + 1}{2n^2 + 1} - 1) = 2 > 1$

Deci seria converge.

💡 Pentru operații cu serii convergente, dacă $\sum a_n$ și $\sum b_n$ sunt convergente cu sumele a și b, atunci:

• $\sum \alpha a_n$ converge către $\alpha a$ pentru orice $\alpha \in \mathbb{R}$
• $\sum (a_n \pm b_n)$ converge către $a \pm b$

Aceste criterii avansate ne permit să analizăm serii mai complexe și să determinăm convergența lor fără a calcula explicit sumele.

Criterii suplimentare pentru convergența seriilor

Criteriul lui Raabe-Duhamel este util pentru cazurile în care criteriul raportului nu oferă un rezultat decisiv (când limita raportului este 1).

Dacă $\lim_{n\to\infty} n \cdot (1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}) = \lambda$, atunci:

• Dacă $\lambda > 1$, seria converge
• Dacă $\lambda < 1$, seria diverge
• Dacă $\lambda = 1$, criteriul nu decide

Operații cu serii convergente:

• Dacă $\sum a_n$ și $\sum b_n$ sunt convergente cu sumele a și b, atunci:
  • $\sum \alpha a_n$ converge către $\alpha a$ pentru orice $\alpha \in \mathbb{R}$
  • $\sum (a_n \pm b_n)$ converge către $a \pm b$

Exemplu: Pentru seria $\sum_{n \geq 1} \frac{2 + 3^n}{2^n}$, putem descompune: $\sum_{n \geq 1} \frac{2 + 3^n}{2^n} = \sum_{n \geq 1} \frac{2}{2^n} + \sum_{n \geq 1} \frac{3^n}{2^n} = \sum_{n \geq 1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + \sum_{n \geq 1} \left(\frac{3}{2}\right)^n$

Prima serie converge, dar pentru a doua: $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2}\right)^n = \infty$, deci seria diverge.

Prin urmare, întreaga serie $\sum_{n \geq 1} \frac{2 + 3^n}{2^n}$ diverge.

💡 Când analizăm sume de serii, dacă măcar una dintre serii diverge, atunci și seria rezultată va fi divergentă.

Înțelegerea acestor criterii ne permite să analizăm eficient convergența diverselor tipuri de serii care apar în calculele matematice.

Convergența absolută și semiconvergența

O serie $\sum a_n$ este absolut convergentă dacă seria $\sum |a_n|$ converge. Orice serie absolut convergentă este și convergentă.

O serie $\sum a_n$ este semiconvergentă dacă seria converge, dar $\sum |a_n|$ diverge.

Exemple:

• Seria $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ este absolut convergentă deoarece $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge.
• Seria $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(3n)}{n^3}$ este absolut convergentă deoarece $|\frac{cos(3n)}{n^3}| \leq \frac{1}{n^3}$, iar seria $\sum \frac{1}{n^3}$ converge.
• Seria $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$ este semiconvergentă deoarece converge (conform criteriului lui Leibniz), dar $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

Criteriul lui Leibniz pentru serii alternate: Dacă $(a_n)$ este un șir descrescător de numere pozitive cu $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, atunci seria $\sum (-1)^n a_n$ este convergentă.

💡 Dacă o serie este absolut convergentă, atunci $|\sum a_n| \leq \sum |a_n|$. Această proprietate este utilă pentru estimarea valorii sumei unei serii.

Seria $\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}$ este semiconvergentă deoarece $\sum \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}$ diverge, dar seria alternată converge prin criteriul lui Leibniz.

Serii alternate și semiconvergența

Seriile alternate au forma $\sum (-1)^n a_n$ unde $a_n > 0$. Acestea pot fi convergente chiar dacă seria $\sum a_n$ diverge.

Un exemplu important este seria $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2 + 5}$. Pentru a analiza această serie:

1. Verificăm convergența absolută examinând $\sum \frac{n}{n^2 + 5}$

   Observăm că $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + \frac{5}{n}} = 0$

   Dar, folosind criteriul de comparație, $\frac{n}{n^2 + 5} \sim \frac{1}{n}$ când $n \to \infty$, iar $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

2. Verificăm condițiile criteriului lui Leibniz:

   • Șirul $a_n = \frac{n}{n^2 + 5}$ tinde la 0 când $n \to \infty$
   • Șirul este descrescător pentru $n \geq 1$, deoarece: $\frac{n+1}{(n+1)^2 + 5} < \frac{n}{n^2 + 5}$

Deoarece șirul $a_n$ este descrescător și tinde la 0, seria alternată $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2 + 5}$ este convergentă conform criteriului lui Leibniz.

💡 Seriile semiconvergente au proprietăți diferite față de seriile absolut convergente - de exemplu, rearanjarea termenilor poate schimba suma sau chiar natura de convergență a seriei.

Prin urmare, seria $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2 + 5}$ este semiconvergentă: converge, dar nu converge absolut.